数理化首学丛书 立体八何 杨荣祥编 上海科学技术出版社 ==========第1页========== 数理七自学丛中书 第二版 立体儿何 13o9 杨荣祥编 发庆 1012207 书 图 馆 上海科学技术出版社 、、 ==========第2页========== 数理化自学丛书第二版立体几何杨荣祥编数理化自学丛书编委会审定上海科学技术出版社出版（上海瑞金二路450号)姜专在上海发行所发行上海中华印刷厂印刷开本787×10921/32印张10字数261,0001978年6月第1版1982年10月第2版1982年10月第6次印利印数：700,0d1一895,500 统一书号：1$11977定价：（科二）0.70元 ==========第3页========== 内容提要 本书是数理化自学丛书中的一本，在平面几何学的基础上，介绍了中学立体几何学的全部内容。本书写得深入浅出，概念清楚，定理证明严谨、逻辑性强，并有大量联系生产及生活实际的例题.书中附有大量习题可作为练习，以帮助复习巩固并进一步加深对课文内容的理解，对较难的习题都作了程度不同的提示。'只要具备平面几何、代教和 -”: 三角的初步知识即可自学阅读 本书可供知识青年、青年职工、干部自学之用，也可供中等学校教师参考。 、 ”食经 ==========第4页========== 第二版出版说明 数理化自学丛书》第二版是在第一版的基础上编写而成的.考虑到我社已出版大学数、理、化自学丛书，中学数,::学中的微积分内容没有另编分册。第二版仍包括《代数》四册、《平面几何》两册、平面三角》、《立体儿何》、《平面解析几何》、《物理》四册和《化学》四册，共十七册. 由黄丹馥、杨荣祥、余元希、杨逢国桂君协等同志主编的第一版，自1963年陆续出版后，受到广大读者的欢迎。特别是1977年重排、重印以来，受到社会各方面极为广泛的关注，在广大读者中有了相当的影响.许多在职职工、农村青年和在校学生，自学了这套书以后，数理化知识水平有了一定的提高。 第二版由杨荣祥、余元希、束世杰、季文德等同志主编，数理化自学丛书编委会审定，它保留了第一版在编写上“详尽在先、概括在后、通俗到底”和“便于自学、无师自通”的特色，仍是一套与现行中学课本并行的自学读物.第二版仍从读者的实际情况出发，按传统的教学体系编写。但这次参照新的试行教学大纲的要求，与第一版相比，数学各分册的编写内容作了适当的增删和调整，基础知识和运算技能的训练有了进一步加强；物理各分册在内容的取舍、习题的更新、插图的选配、实验的描述等方面均有较大的改进；化学各分册还增加了反映现代科学技术水平的基础理论知识，在理论和实践相结合的原则下，内容和体系均有新的特色。此外，各册的例题和习题选配得力求恰当、合理，知识 ==========第5页========== 论述力求通俗、严密；并按章增加了测验题。在各册编者的话中，还有供读者自学时参考的指导性意见 自学要有成就，必须刻苦勤奋、踏实认真、持之以恒、知难而进。刻苦自学、学有成就者不乏其人，愿广大读者努力学好. 《数理化自学丛书》出版以来，全国各地的读者给以热情的鼓励和有力的支持，特在此表示衷心感谢. 上海科学技术出版社 ==========第6页========== 编者的话 本书是《数理化自学丛书》中的一种.在学习平面几何的基础上继续学习中学立体儿何的全部内容，其中包括直线与平面、多面体和旋转体等三章。只要具备平面几何、代数和三角的初步知识，就可以自行阅读. 本书这次修改时，凡有利于自学的特点，全都保留下来了，除了在正文和范例方面作了适当的修改和补充之外，在习题上也作了相当数量的增别： (①)重新描述多面角的定义。增添了补三面角的概念，为读者今后自学球面儿何学做好准备 (②)补充了欧拉公式，为讨论正多面体建立了理论根据。 (3)增加了空间儿何的点的轨迹和多面体的截面的画法以及这方面的例题和习题 (4)拥强了多面体和旋转体的极值问题的讨论，增补了这方面的范例和习题. (⑤)补充了球台体积公式的推导，可以直接应用球台的体积公式计算它的体积 (6)每章之后的复习题分成A、B两组（其中A组的 题目可以全做，B组路难一些，可以选做.)，并在各章后备 有测验题，以供读者自行检验学习成果 为了培养读者的逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力以及自学的能力，希望读者在自学过程中能做到下面这几点： 。拉 ==========第7页========== (1)学习立体几何应先学会空间图形（直线与平面）的画法，从而弄清空间的直线和平面之间的位置关系，以便形成空间图形的概念 (②)详细阅读课文，读到论证的部分，最好自行推导一遍，便能熟练掌握空闻图形的性质和定理. (③)解题时应仔细审题，审清题意后则绘制符合题设条件的图形，然后进行分析思考，认真解答.不要先看提示或答案，以便提高独立思考和解题的能力，： (④)学完每一章时要进行学习小结，领会本章的重点和难点.例如异面直线和三垂线定理是直线与平面这章的重点内容，异面直线间的公垂线的画法是难点，然后在复习的基础上，再检验学习的成果 总之，要以坚强的信心和决心，进行不棕的努力，并持之以恒，就一定会学好立体儿何、 本书原由华祇文、赖云林、奚定华诸同志提供资料，经本人执笔写成，于1978年出版。为与第二版配套，这次虽未重新编写，但按第二版的要求进行了整理，.限于本人的水平，书中一定还有峡点和错误，希望读者提供宝贵意见， 编 者 1981年2月 打g ==========第8页========== 《数理化自学丛书》（第二版）编辑委员会 (以姓氏笔划为序) 主编： 数学杨荣祥余元希物理 束世杰 化学季文德 委员： 杨荣祥（上海师范学院）束世杰（上海师范学院）吴孟明（上海市七一中学）余元希（华东师范大学）汪思谦（上海教有学院）张国模（上海教有学院）张冠涛（上海市育才中学）季文德（上海市教育局）赵宪初（上海市南洋樸范中学）桂君协（上海师范学院）凌康源（上海救有学院） ==========第9页========== 目 录 第二版出版说明… 1 编者的话… .......................ij 1。直线与平面… 1 平面… 6y1 §1·1平面以及平面的判定……1§12平面的表示法…少813在水平位置的平面内画平面图形……名§14平面的基本性质 6 §15确定平面的条件 9 §16空间作图题的解法…1生直线和直线的位置关系… …17 §17两条直线的相关位置 …17 直线和平面的位置关系… …20 §1.8直线和平面的相关位置… …20 §1·9直线和平面平行的判定 …22 &1.10直线和平面平行的性质定理… …24 §1.11两条异面直线所成的角… …30 §1.12直线和平面垂直的判定… …31 8113直线和平面垂直的性质定理… …38 §114.平面的垂线和斜线… …41 §1.15直线与平面所成的角… …44 §116三垂线定理… …47 平面和平面的位置关系… …53 §1.17两个平面的相关位置… …53 §118平面和平面平行的判定…54 81.19平面和平面平行的性质定理…58§1.20二面角…… …65 8上21二面角的平面角…67 ·Ye ==========第10页========== §1.22直二面角和互相垂直的平面…72§1.23平面和亚面垂直的判定…73§124平面和平面垂直的性质定理…76§1.25点和线在平面内的射影…818126多面角… …91 §1.27补三面角、三面角和多面角的性质定理.968128多面角的全等… ·102 §1.29多面角的对称… 105 本章提要 107 复习题一A… 111 复习题一B… 113 第一章测验题 114 面体 116 棱柱、棱锥和棱台 116 §21多面体 116 §22棱柱 117 §23平行六面体 122 824棱锥… 127 825棱台 136 §26棱柱、棱锥和棱台的直观图…14红棱柱、棱锥和棱台的面积… 149 827棱柱的侧面积和全面积…149§28正棱锥的侧面积和全面积 152 82,9正棱台的侧面积和全面积… 158 棱柱、棱锥和棱台的体积…… 164 S2.10关于体积的概念… 164 82.11长方体的体积 165 §2·12祖暅定理… 170 §213棱柱的体积… 172 S2.14棱锥的体积… 178 s2.15棱台的体积… 184 "§2.16拟柱体… 189 计 ==========第11页========== §217正多面体、欧拉公式…194本章提要 202 复习题二A 204 复习题二B……206 第二章测验题 208 3.旋转体… 210 圆柱、四锥和圆台 210 §3.1圆柱 210 §32圆锥 212 &33圆台 216 §34圆柱、圆锥和圆台的直观图…223圆柱、圆锥和圆台的面积…227 83.5圆柱的侧面展开图和它的侧面积…227§36圆锥的侧面展开图和它的侧面积 230 §3·7圆台的侧面展开图和它的侧面积 234 圆柱、圆锥和圆台的体积… 239 838圆柱的体积… 239 83.9圆锥的体积… 242 §3.10圆台的体积… 246 球、球的截面和切面… 253 §311球… 253 §312球的截面和切面… 254 球面和它的部分面积… 261 §3,13球冠、球带 261 314球面、球冠、球带的面积… 263 球和它的部分体积… 272 8315球扇形… 272 3.16球扇形的体积… 273 §3,17球的体积… 276 §3·18球缺和球台的体积… 279 本章提要 284 复习题三A 286 。yii。 ==========第12页========== 复习题三B289 第三章测验题 291 总复习题A 292 总复习题B…294 总测验题 295 习题答案… 297 ●yiii● ==========第13页========== 1 直线与平面 平 面 §11平面以及平面的判定 在平面儿何的绪论里已经讲过：体的界限是面.面就是物体的表面，有平的和不平的，现在先讨论物体表面是平的情形.象窗玻璃面、平静的水面、桌子面等等，这些都给我们平面的形象， 木工用角尺检查刨的木板是否平整，水泥工用一根直的木尺在刚铺水泥的面上刮平，这些做法，都与平面的性质有关.木工常常用角尺的一条直边放到刨过的木板表面上（图1·1），看角尺的这条直边是不是处处和木板面密合；如果把角尺的直边随便放到木板表面的任何位置上，它总是 图11 与木板表面密合的，这就说明这块木板已刨平了，也就是这木板表面已被刨成平面了，这里必须注意，在检查时只要发现一次角尺的直边不与木板面处处密合，这就表明木板表面还没有刨平。· 木工用角尺检查板面是否刨平的方法，水泥工利用直的木尺铺平地板的方法，这些都是劳动人民经历了无数次实践的结果.人们用这个总结出来的经验来判定一个平面，把这个经验写成定理的形式就是： ==========第14页========== 经过面内任意两点的直线，如果这直线全部在这个面内，那末这个面是平面 我们也可以利用这个性质来判定不平的物体表面.例如，玻璃瓶、煤气管、茶杯等的表面都不是平面.如果用直尺去检查一下，很快就会发现它们的表面与直边不可能总是密合的，这就从反面证明了上述各物的表面是不平的。 §12平面的表示法 日常生活中所看到的平面图形，如地板、桌面、匣子表面等，它们的周界都是确定的，而且比较常见的是矩形.当我们站在适当的位置和距离去观察一个矩形的表面时，看上去都象一个平行四边形.因此我们常把矩形表面画成平行 四边形，这样可使图形有立体感（图12） 水平位置的平面 上面的左图是表示水平位 意立的平 置的平面，右图是表示直立的 图12 平面。在平面内画空闻图形的时候，通常画一个平行四边形以表示平面.，但必须注意：用平行四边形表示平面仅仅:是表示平面的一部分，而整个平面应当想象它是无边且无限延伸开来的一片平面. 表示一个平面的方法，通常用一个大写的字母写在平行四边形某一个顶角的内部，如图13 图13 中的M,记做“平面M”.有时也用平行四边形对角的两个 大写的字母来标明，如用“平面AC”或“平面BD”等来表 示。 〔注意) (①)用一个字母或两个字母表示平面的时候，在字母 2 ==========第15页========== 前面应该写“平面”两个字，以免与点、直线混淆 (2)当画一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应该把被遮住部分的线段画成虚线（图1·4左）或者连虚线也不画（图1·4右）. 图14 §13在水平位置的平面内画平面图形 在水平位置的平面内画平面图形，一般分为下面几个步骤： (④)先面出水平位登的平面（一般用a=45°，k-) (2)把平面图形上的一条边画成水平方向，也就是和平行四边形的横边平行，它的长度等于原来的长度，或者按比例尺的长度， (③)在平面图形上如果有垂直于该边的线段（看作垂直于水平方向)，就把这些垂直线段画成和平行四边形的纵边平行（就是和横边成45°角），垂直线段的长度等于原来长度的一半，或按比例尺长度的一半截取 (4)对于其他位置的线段，应当先在原来的平面图形上从线段的各个端点画出这水平方向边的垂线，再按(3)画出这些垂直的线段，端点确定后就可以画出这些线段了， 下面用例题来说明如何在水平位置的平面内表示平面图形在下列各例中，水平位置的平面P内的作图中取a= 45,-） ==========第16页========== 例1 在水平位置的平面P内表示已知的正方形ABCD(图 15). 横边AB移到水平位置的平面P内为A1B1,它的长 度不变.但纵边AD和BC移到平面P内时，须画成与线 段A1B1成45°的角，并且它的长度为原来实长的一半.则 A1B1C1D1就是所要画的正方形. 图15 图16 例2· 在水平位置的平面P内表示已知的△ABC(图1.6). 先在△ABC内作高CD.在平面P内作A1B1=AB, A1B1须与表示平面的平行四边形的横边平行.在A1B1上 取D1点，使A1D1=AD.再由点D1作一直线使它与A1B1 成46°的角，并且自点D:起在这线上戴取CGD:-CD, 从而得出点01.连01A1和C1B1,那么，△A1B1C1就是 所要画的三角形例8 在水平位置的平面P内表示四边形AB0D(图1.7). D 图17 除了上面所说的把一条边画成水平的方法那样，还可 以采取如下的作法.过四边形的顶点A作一条水平的直 线MN.从B、C和D各顶点分别作BK、OF和DE垂 直于MN, 在平面P内，任作一条和横边平行的直线MN1.在 M1N1上任取一点A1;再在MN1上顺次截取AE1、E1F1 ==========第17页========== 和F1K1分别等于AE、EF和PK.过E1、F和K1分 别画出和MN1成45°的直线；在这些直线上取1D1、 PC:和KA,分别等于是D.量C和号KB,分别连 结A1B1、B1C1、OD1和D1A1,则A1BC1D1就是所要画 的四边形 例4 在水平位置的平面内表示一个已知的圆（图1·8）. 图18 在已知圆内，画一条水平直径AB.把这直径见等分 (图中凯=12)，过各个分点作直径AB的垂线. 在平面M内画一条水平直线，在此直线上截取A1B1= AB.并且，将A1B1也n等分（图中%=12）. 过AB1的各个分点，画出与A1B1成45°角的直线， 再分别在这些直线上截取等于对应原弦长的一半且被 A1B:平分的各线段 顺次连结上述线段的端点所成的平滑曲线，就是在水 平平面M内所表示的已知圆. 习 1.对于一个正方体，试分别用记在角上的两个大写字母来表示出 13 上下前后左右六个平面. 2.观察一只漱口杯，哪一部分是平面？哪一部分不是平面？ 3.观察右面的两个图形，它们有 代肉 什么不同？ (第3题) 生.在水平位置的平面P(口=46，=号)内表示一个已知的矩形. ==========第18页========== 5.在水平位置的平面P(a=45°，=号)内表示一个已知的直角 三角形. 6.在水平位置的平面P(口=45°，-)内表示一个已知的正六 边形 7.在水平位置的平面P(a=45°，一)内表示-个已知的直角梯形。 3.在水平位置的平面P(。=30,=》内表示-个已知的三角 9.在水平位置的平面P(a=60,k=号)内表示-个已知的正方形。 §1·4平面的基本性质 研究空间图形的性质，同平面几何一样，也是依据几何公理作为基础的。研究空间图形的性质，又必须充分应用平面图形的性质.因此，在立体儿何里首先要讨论关于平面基本性质的三条公理。 公理1 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这直线上所有的点都在这平面内， 这条公理描述了平面的基本性质，它是用直线与平面的关系来揭露的.只要直线上的任何两点在一个平面内，这两点可以落在这平面内的任何位置，那么这条直线上的所有点就都落在这个平面内了.这时，我们称直线在平面内，也可以说成平面通过这直线。因此，如果要知道一平面是否通过某一直线，只要知道这平面通过这直线上的任何两个点就可以了.§1·1提到的判定平面的那个定理就是根据这条公理推导而得到的.从这条公理可以推知，如果 6. ==========第19页========== 一个多边形的各个顶点都落在同一个平面内，那末就可以断定这个多边形上的所有点全部落在同一个平面内；具有这种性质的多边形称为平面多边形。反之，如果一个多边形的各个顶点不能全部落在同一个平面内，这个多边形通常称为空间多边形 公理2 过不在一直线上的三点可以画一个平面，也只能画一个平面 这条公理可以简单地说成：不在一直线上的三点确定 一个平面.这里所谓“确定”是指“可以面且唯一”地确定一个平面的意思 这条公理同样来自劳动人民经验的积累.例如，农村中常常用三根竹竿张开来架在地面上做成三脚架，在两只这样的架子之间搁上一根竹竿，就可以用来晒衣服，这样架起来的是很平稳、很牢固的。这主要是运用了上述的公理，张开的三根竹竿和地面接触的一端，就相当于不在同一直线上的三个点，而这样的三个点就可以确定一个平面 我们还常看到，木工锯木料时用的三脚马，老年人用一手杖后就可以比较平稳地行走，平板仪和照相桃所用的三脚架等，这些都是这一公理的实际例子 公理3 如果两个平面有一个公共点，'那么它们相交于经过这点的一条直线 在很多地方都可以看到这一公理的实际应用。例如，两堵墙壁的相交处都是一条直线，因为墙壁都砌得很平，所以两堵墙壁和两个平面一样，它们相交处一定是一条直线.又如把一张纸折起来，并且把纸折平所成的折痕就是一条直线；如果折纸时不把纸折平，那么折痕就不是一条直线了.这里说明了一点，就是两个平面的相交处一定是一直线，而两个面中只要有一个不是平面，那么它们的相交处就不一定是一直线 ==========第20页========== 如图1·9(1)中，平面M和平面N相交于直线 AB. 如图1·9（②）中，平面Q和曲面P相交于CD,显然， CD是一条曲线.而在图19(3)中，平面S和曲面R相交 于EF,但F却是一条直线 (2) 图19 图1.10 对于公理3，也许有人会怀疑：两个平面能不能只相交于一点？正确的回答是不可能的、因为平面实质上是无限伸展的，既然两个平面有了一个交点，那末只要扩展这两个平面，一定有无数多个交点，而且这无数个交点必然在一条直线上（图110）， 如图110中，平面M和乎面H(如只画成有斜线的 部分)相交于点O,如果把平面丑画大一些（图上用 画出的部分)，平面H就和平面M相交于直线OP了 上面叙述的三条平面公理，是讨论空间图形性质的基础.公理1是描述平面的基本性质，·公理2是确定一个平面的根据，公理3是描述两平面相交的关系 学习空间图形的性质，或者计算图形的大小，都要先画出空间图形，而空间图形又只能画在一个平面内，这与平面几何里画平面图形是不相同的.因此，完全依赖于圆规和直尺就不能把空间图形画在平面内，，还必须根据平面公理和图形的某些条件来研究画空间图形的方法。因此学会画立体图形就成为学习立体儿何的基本训练了。希望读者在学习过程中随时注意这一点 ==========第21页========== §15确定平面的条件 具有哪些条件可以确定一个平面？我们以平面公理2为基础，再应用其他两条平面的性质公理，就可以推导出具有哪些条件即可确定一个平面的几个推论： 1。一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面 如图1·11，已知直线a和直线a外的一点A,我们来证明直线a和点A可以确定一个平面。 B G [证] 在直线G上可以任意取两点B 和0.因为A、B、C这三点不在一 图111 直线上，所以确定了一个平面M.又因为直线6上有两点 B、C落在平面M内，故知直线G上所有的点都在平面M 内.这就证明了过直线a和它外面的一点A可以画一个 平面M. 其次，是不是只可以画一个平面呢？过直线和直线a外的点A如果还可以画出第二个平面N,这样，点A、B、 C又要在平面N内，因此，这三点A,B,O既在M内又在 N内，即确定两个平面，显然这是与不在一直线上的三点确 定一个平面的公理相矛盾的，新所以平面N必与平面M重 合.这就证明了过直线a和直线a外的一点A只能画一 个平面M. 〔注意) 本推论的证明过程分两步，第一步证明它的可能性，第 二步证明它的唯一性. 本推论在日常生活中的应用是常见的.例如，箱子加锁就可以固定箱盖；门上加一开关就可以关闭，这些都是由于固定了一直线（箱盖和门的一边）和这直线外的一点（箱 ==========第22页========== 子的锁和门的开关)，平面（指箱盖和门）的位置必定被固定的直线和它外面的一点所确定，所以这平面也被固定了。 2,两条相交直线可以确定一个平面 如图112，设a、b是相交于点0的两条直线，我们来证明相交直线和b确定一个平面 [证] 在直线b上任取异于点O的 …、点B这样，经过直线G和点B可 图1.12 以确定一个平面P.由于直线b上有两点B和O落在平面P内，所以直线b也落在平面P内，就是平面P过相交直线a和b,. 其次，假定经过相交直线a和b还可以作一个平面N, :那么直线和点B也必在平面N内，这与过一直线和这直 线外的一点只能确定一个平面的结论相矛盾，因此平面N 必与平面P重合. 综上两个方面，这就证明了相交两直线只能确定一个 平面。 本推论的实际例子也是很多的、例如，墙壁损坏的地方往往向外凸出来，为了防止倒塌，可用木料撑头抵住墙壁，这时往往需要先用两块术板交叉篆贴在墙壁的凸出部分把它压平后，再用撑头顶住这两块木极的重迭部分.这样做的目的之一是使损坏的培壁恢复并保持平面的状态 3两条平行直线可以确定一个平面： 如图1·13，设a和b是平行的两条直线，我们来证明直线，和b确定一个平面。 [证] 根据平面儿何里关于平行线的 1 定义，两条平行直线必在一个平面 图.113 10e ==========第23页========== 内，所以经过两条平行的直线和b可以作一个平面M. 其次，经过平行直线a、b能不能作出第二个平面呢？假定经过乎行直线a,、b还可以作一个平面N,那末这两个平面M和N都要经过直线a和直线b上的一点O(或者经过直线b和直线G上的一点D;这里的点O或D都是该直线上的任意一点)，而过一直线和这直线外的一点只能确定一个平面，显然过平行直线a、b所作的第二个平面N与 平面M是重合的.因此，经过两平行直线只能作一个平 面。 从本推论就容易推知：平行四边形或者梯形一定是平面图形.这是因为，梯形或平行四边形至少有两条对边是平行的，这两条平行直线确定了一个平面，而且其他两条对边都各有两点（图形的顶点）落在已确定的平面内，因此图形上各点全部落在同一个平面内，由此可见梯形或平行四边形都是平面图形。但是连结空间任意四个点，就不一定 同在一平面内.例如，对于空间四个点A、B、C、D(图 1·14),我们可以分几种情况来讨论： 3) 图114 (①)如果空间四点A、B、C、D正好在一条直线上，显 然可知这四点同在一平面内.但是必须注意，过一直线的平面有无数个，也就是说，同在一直线上的四点不确定任何 一个平面.所以说，这四点同在一平面内，但不确定一个平面。 (2)设A、B、O三点在一直线上，而点D不在这直线 上（图1·14(1）)，那末由一直线和这直线外一点确定一个 ==========第24页========== 平面P (3)设A、B、C、D中没有任何三点在一直线上，因此 其中的任何三点可以确定一个平面.假如取A、B、C三点 确定一个平面P.至此又可分如下两种情形： (1)如果第四点D落在平面P内，那末A、B、C、D 这四点便确定一个平面P(图1·14（②）). (i)如果第四点D在平面P外，那末A、B、C、D四点就不同在一平面内（图1·14（③）). 所以，空间四点是不一定同在一平面内的. 例1 AB、OD、EF是三条直线，其中AB ICD,EF与AB 和OD都相交，求证AB、CD、EE 三直线在同一平面内（图1·1）. =B -D 分析 要证明三条直线在同一平面内，，可以先由其中两条直线确定 图1.15 一个平面，然后再证明第三条直线也落在这个平面内.因 为AB和CD是两条平行的直线，所以可先确定一平面P, 再证明直线EF也落在平面P内就可以了. [证] 因为ABCD,所以AB和CD可以确定一个平面P, 设EF与AB、CD分别相交于点M、N. 因为M、N两点分别是直线AB和CD上的点，所以 点M和点N都在平面P内.既然直线EF上有两点M、 V在平面P内，那么直线EF也就落在平面P内，故知直 线AB、CD、BF同在一个平面内. 例2 试证明两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内. 分析 根据题设条件，这四条直线有两种可能，如图1·16所示. (1)如图1·16的(1)，直线a、b、c、d是两两相交的，且没有三直线相交于同一点。要证明这四条直线在同一平面 。138 ==========第25页========== 图1.16 内，可先取其中的两条直线（设、），由题设，它们是相交 的（设交点为P),所以可确定一平面（设为平面），再根 据题设证明另两直线(c和d)也落在这平面()内就可以了. (②)如图1·16的(2)，直线a、b、c、d是两两相交的，其中直线a、b、c相交于一点P.如取直线d和a、b、c中任一 直线这两相交直线确定一平面M,要证明这四条直线在同 一平面内的步骤完全同（①）的分析. 作为练习，希望读者自己来写出本题的详细证明. 1.三角形一定是平面图形，为什么？ 习题 15 2.当三个点的位置怎样时，则经过它们的平面不止一个？ 3.过空间的一点作三条直线，试问这三条直线是否同在一个平面 内，为什么？ 4.空间有五个点，且其中没有四个点同在一平面内，这祥的五个点能确定几个平面？ 5.空间三条直线两两平行，且不在同一个平面内，可确定几个平面？ 6.一直线如果与若干条平行线都相交，那末这些平行直线是不是同在一平面内，为什么？ 7。过一条直线上的一个已知点，能作多少条直线和这已知直线垂直？ [提示：过已知直线可以画出无数个平面，而在每一个平面内都可以过已知点作已知直线的一条垂线.] 8.过一直线和这直线外不在同一直线上的三点，可以确定几个平面？ [提示：分如下三种情况，(1)三点中任何两点与直线不共面；(2)其中有两点与直线共面；(3)三点与直线在同一平面内.] ·13s ==========第26页========== §16空间作图题的解法 在平面几何里，作图问题都是在一个平面内应用圆规和直尺等作图工具来进行的；而空间作图题就不能全在一个平面内完成，先要考虑到图形在哪一个平面内，然后再在这平面内作图，所以空间作图要比平面作图多了一个确定平面的步骤 对空间图形的作法，通常作出下面的规定： (1)如果已知的条件可以确定一个平面的位置时，那末这平面就认为是可以作出的.这就是说，如果具有下列条件之一，就认为这平面可以作出： (i)过不在一直线上的三个已知点；(ⅱ)过一已知直线和这直线外的一已知点：(ii)过已知的两条相交直线；(iv)过已知的两条平行直线 (2)如果已知两个平面相交，它们的交线就认为是可以作出的 (③)如果已知空间的一个平面，就认为在这平面内可以完成平面儿何中所能完成的一切作图， 因此，所谓解空间作图题，就是指把它归结到有限次的运用上面的三种基本作图. 〔注意) ()根据上面的叙述可知，空间作图题的解法，是和平面几何中的作图题有很大区别的.空间作图往往必须作出平面，或者作出某些平面的交线，最后再在作出的平面内进行平面几何的作图.例如“过已知直线a外的一个点A,求作这直线的平行线”，在解这个作图题时，首先应该过直线%和点A决定平面M,然后在平面M内过点A作直线b平行于直线a.如果不通过作平面M而直接过点A作直 14 ==========第27页========== 线b平行于已知直线，那是不妥当的，因为只有在一个平面里才可以应用作图工具进行平面几何的一切作图.请读者观察右面的两个图（图117),哪一个是不妥当的？为什么？ (2)对某些简单的作 图1.17 图题，只应用上述三种基本作图就行了，而对于较复杂的作图题，除了应用这三种基本作图之外，还应该考虑图形中各个元素间的位置关系.例如，已知两个平面有一个公共点，那么在作图时，这两个平面的交线就一定 图1.18 要画成过这个公共点.上面的图1·18中，请读者观察一下，哪一个画得不妥当？为什么？ (③)在画两个或者两个以上的相交平面图形时，除了清楚地画出它们的交线外，被平面遮住的直线或线段等，都要画成虚线，必要时可以用不同颜色的铅笔，在图形上涂上颜色会更显得直观. 例1 从已知直线外一已知点，作一直线与已知直线相交，并与已知直线所成的角等于已知角a(图1·19)[解] 设BC为已知直线，A为直线 外一点.过BC及点A可确定平面 P 在BC上任取一点S1,在平面 图1.19 P内过点S1作角ASC=a.再在平面P内过点A作 AS‖AS1,使AS与BO相交于8、那么∠ASC= ∠AS1C=a,所以AS是所求的直线.同理可以作∠AS2B=a&. 150 ==========第28页========== 当a&=90°时，本题一解；当&=180°时，本题无解 〔注意) 本题中，作∠AS1C=a,以及作AS∥AS1都是平面 几何的作图，所以特别先加注明这些作图是在平面P内进 行.当我们在空间中要进行平面儿何的作图时，必须先确定一个平面，胧离了平面，直线是作不出来的。这是初学立体几何的人容易忽视的，应当加以注意例2 求作已知平面P与不在这平面内的已知直线a的公共点（图120）， 图120 [解]、 在平面P内任取一点A,过点A和直线，作平面Q. 平面®和平面P有公共点A4,所以相交于过点A的直线 AB.在平面P内的直线a和AB相交于点C,那么点C即为所求的公共点 若G‖AB,本题无解。 习题 1.已知一直线a和直线&外的一点P,求过点P作直线a的垂线. 16 2.已知空间两直线a和b(不在同一个平面内)和它们外面的一点 C,求过点C作一直线使它和直线a、b都相交. 3,在已知平面M内求作一条直线，使它过 平面M内的一个已知点卫，并且与不在 这平面内的一条已知直线4B相交. (第3题) [提示：过P和AB可以确定平面N,那么平面M、N的交线P?就 是所求作的直线。如果直线AB与两平面的交线P?平行，注意一下 这时本题有解否？] 066 ==========第29页========== 直线和直线的位置关系 §17两条直线的相关位置 由平面儿何知识可以知道，在同一平面内的两直线的位置关系有下述三种 (1)如果两条直线有两个公共点，那末它们一定有无数个公共点，这时两直线重合， (2)如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线相交， (③)如果同一平面内两条直线没有公共点，那么这两条直线平行 所以，在同一平面内的两直线只有重合、相交、平行这 三种位置关系。但是，在空间图形中，两直线的位置关系是否也是这样呢？由于空间图形是不完全在一个平面内的点所组成的图形，因此有不在同一平面内的直线存在。例如，在我们常见的长方体中（图1·21）， 上底面的长A:B1与下底面的宽 AD:或者上底面内一条矩形的对角 线B1D1与这长方体的高AA1等， 它们都是不在同一平面内的直线.例如，操场跳高架上的横竿与直立 图121 于操场上的旗竿，如果将它们看作直线，它们也是不在同一个平面内的 不在同一个平面内的两条直线，叫做异面直线.两条异面直线既不相交，也不平行（因为两条相交或平行的直线都在同一平面内) 因此，空间两条不重合的直线的位置关系有： 、17, ==========第30页========== (①)异面直线一没有公共点，不在同一个平面内；(②)平行直线一没有公共点， 在同一平面内. (③)相交直线一只有一个公共点， 如果空间两直线是异面直线，作图时可以过其中一条直线作一个平面，使另一条直线与这个平面相交.这样就容易体现出两条异面直线的位置关系 例如，在图1·22(1)中，直线a在平面M内，直线b与平面M相交于S.因点S不在直线a上，所以容易看出、b两直线是异面直线， 图122 图123 表示异面直线图形的另一方法，是将两条异面直线分别画在两个相交的平面内.如图1·23.直线4和直线b是异面直线 图1·22（②）中，直线：与直线b是异面直线，但是这样的画法就不如上两种画法来得明显， 读者还可以在图1·21中仔细进行观察，在这个长方体 中，除了直线BC与CD1是异面直线外，能否再找出其他 几对异面直线？在平面BB1C1O内，连结BO1,·那么BC1 与0D是否是异面直线？为什么？ 例1 三个平面两两相交得到三条直线，如果其中有两条相交于一点，那么第三 N10 条也经过这点 [已知] 平面N和平面P、平面M和平面 P的交线都经过点0（图1·24） 图124 [求证] 平面M和平面N的交线也经过点O ●18。 ==========第31页========== [证] 由于平面N和平面P的交线经过点O,所以点O在 乎面N内. 又，平面M和平面P的交线也经过点O,可知点O也 在平面M内 因此，点O是平面M和平面N的公共点，所以平面M 和平面N的交线经过点O. 例2 已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直 线 [求证] AO和BD,AD和BC也都是异面直线， 分析 要证明AC和BD是异面直线， 就是要证明AC和BD不在同一个平 面内. 可以应用反证法，先假定AC和 BD在同一个平面内，然后证明它与 图1.25 已知条件“AB和CD是异面直线”发生矛盾，由此证明结 论成立.同理可证AD和BC是异面直线 [证] 假定AC和BD不是异面直线，那末AC和BD在同 一个平面内. 因此，A、C、B、D四点在同一个平面内.这样，AB、 CD就分别有两个点在这个平面内，所以AB和CD在这 个平面内，即AB和CD不是异面直线。这就与已知条件 产生矛盾 所以AC和BD是异面直线. 同理可以证明AD和BC也是异面直线 〔注意) 要证明两条直线是异面直线，常常应用反证法.先假定它们在同一个平面内，然后引出矛盾，由此证明结论成立. 1.两条直线分别在两个平面内，它们是否一定是异面直线？ 习题 2.四边形中有三边在同一个平面内，第四边和两条对角线为什么 也在这个平面内？ "19● ==========第32页========== 3.垂直于同一条直线的许多空间直线它们是不是互相平行？ 4.已知两个相交平面P和？.过它们的交线上两个点A和B,在 平面P内作直线AC,在平面？内作BD.求证AC与BD是异 面直线 [提示：可用反证法，若AC与BD在一个平面内，这将导致平面P 和？重合，这与题设平面P和？相交矛盾，故结论成立.] (第4题) (第7题) 5、一条直线和两条异面直线相交，每两条相交直线可以确定一个平面，一共可以确定几个平面？ 6。两条相交直线能不能与两条异面直线都相交？ 7.正方体相邻两个表面的交线中，哪几条与BD是异面直 线？ [提示：请读者仔细进行观察，计能找出六条，] 直线和平面的位置关系 §18直线和平面的相关位置 我们已经知道，如果一条直线上有两个点在某一平面内，那么这直线上的所有点都在这个平面内，这时直线就在平面内. 如果一条直线和平面只有一个公共点，那么这条直线就和这个平面相交 如果一条直线和一个平面没有公共点，则称这条直线 ==========第33页========== 和这个平面互相平行.所以，一条直线和一个平面的位置关系有： (①)直线和平面平行一没有公共点： (2)直线和平面相交一只有一个公共点： (3)直线在平面内一有无数个公共点 一条直线与一个平面之间，有没有既不相交、又不平行的位置关系呢？ 事实上是不可能有这样的位置关系的.例如，图1·26中的直线 AB和平面M,从图形上看好象不 相交也不平行，但是由于直线可以 图1.26 无限延长，平面可以无限伸展，它们如果不平行，那么一定相交. 画直线与平面相交时，要把直线画得延伸到表示平面的平行四边形的外面.如图1·27(1)的画法比较明显，(2)的图形就不明显 图127 画直线和平面平行时，宜把直线画在表示平面的平行 四边形的外面，如图1·28(1)的画法比较好，(2)的画法就不明显 (1 图128 21 ==========第34页========== §19直线和平面平行的判定 在图1·29中，a是门框的边缘.当门M绕着a在转 动时，门框的另一边缘6是与门M 平行的.如将门框的边缘看成直 线，门M看成平面M,那么这一事 实启发我们如何去判定一直线和一平面乎行. 是定 平面外一条直线，如果和平面 图129 内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行， [已知] a是平面M外的一直线，b是平面M内的一直线，a∥（图130）. [求证] 直线a平行于平面M. 分析 只要证明直线a和平面M没 图1.30 有公共点，就可以确定直线平行于平面M. [证] 两平行直线a、b所确定的平面是N,假定直线a和平面M有公共点S.因点S在直线a上，所以点S必在平面N内；又因点S为直线a与平面M的交点，所以点S又 在平面M内.因此，点S必定在平面M和平面N的交线 b上.也就是说，直线a和直线b相交.但这与已知条件a‖b矛盾，这是不可能的，所以直线a与平面M没有公共点，因此直线a平行于平面M, 〔注意〕 上面叙述的“直线和平面平行的判定定理”，为便于记忆起见，读者可以用“线线平行，线面平行”来理解它.意思就是说，要判定一直线和某一个平面是否平行，只要判定这直线是否与这个平面内的一条直线平行就可以了. 这一定理也可以这样来叙述：当一个平面过两条平行线中的一条时，那末这平面必定和另一条直线平行. ·22· ==========第35页========== 上面证明中所用的方法，称为反证法，这种方法已在平面儿何中叙述过.它也是证明定理时常用的一种方法，特别在立体儿何开始的一个阶段，我们要经常应用到反证法.例 AB、BC、CD是不在同一个平面内的三条线段，求证 经过这三条线段的中点E、F、G的 平面M和AC平行，也和BD平 行. 分析 根据“线线平行，线面平行”的 定理，要证明AC‖平面M,只要证 明AO平行于平面M内的一条直 图1.31 线；由图1·31可知，也就是证明AC‖EF [证] 在△ABC所在的平面中，E、F分别是AB、BC的 中点. ..AC‖EF 于是 AC‖平面M. 同理可证 BD∥平面M, 习题 1.如果一条直线平行于一个乎面，这直线是不是和这平面内所有 19 直线都平行？为什么？ 2.如果一条直线平行于另一条直线，那末它就和经过这另一条直线的任何平面都平行，这一结论对不对？为什么？ 3.一块矩形板ABCD的一边AB在平面M内，把这块矩形板绕 着AB转动，这时AB的对边CD是不是都和平面M平行？为 什么？ 4.过平面M内的一点C,引一直线CD,平行于平面M外的一直 线AB,如果CD在平面M内，试证明AB 平行于平面M. 5.空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面 6,求证空间四边形ABCD的两条对角线BD 和AC都平行于由四边中点所确定的平面 EFGH, (第6题) ·23· ==========第36页========== §110直线和平面平行的性质定理 已知直线和一个平面平行，它们之间的基本性质由下述两条定理来描述： 定理1 如果一条直线和一个平面平行，而经过这直线的一个平面和这个平面相交，那末这直线就和两平面的交线平行. [已知] 直线a‖平面M;平面N过直线a,且与平面M相交于b(图132). [求证] allb, [证] 因为&和b在同一平面N内， 图1.32 所以只要证明它们不相交就证得了它们互相平行.我们用反证法来证明，如果a与b相交，那末a就要与b所在的平面M相交，这与已知条件矛盾、所以上述假定的“α和b相交”不可能，因此%和b平行. 〔注意) 对于上述定理，为便于记忆起见，也可以和判定定理一样，用“线面平行，线线平行”来理解它。所谓线面平行，就是已知直线和平面平行，所谓线线平行，就是指过这直线的任一平面和已知平面的交线，和这已知直线平行 定理2 如果一条直线和一个平面平行，那么过已知平面内任 一点而和已知直线平行的直线只有一条，而且这直线必在已知平面内. [已知] a平行于平面M,点P在平面M内，PQ‖a. [求证] PQ在平面M内（图133）. [证] 过两平行直线%和PQ可决定 平面N,那么，平面M和平面N 必相交于过点P的一条直线PQ1、 根据性质定理1可知a‖P2.既 图133 ·24· ==========第37页========== 然已知a‖P2,故P2,PQ1为在同一平面N内同过点P且平行于平面内的直线a,所以PQ与PQ1重合.即得 PQ也在平面M内（请读者自行证明其唯一性）. 由上述直线和平面平行的性质定理和判定定理可以知道，要判定一直线和一个平面平行，只要判定这直线和平面内的一条直线平行即可；反过来，如果一直线平行于一个平面，那么过这直线的所有平面和已知平面的交线，都与这条直线平行.下面的一些结论，主要由上述两条定理推导得出，希望读者加以注意从上面的讨论可以看出： (①)两条平行直线可以同时平行于一个平面，两条相交直线可以同时平行于一个平面，两条异面直线也可以同时平行于一个平面； (②)两条平行直线中的任一条如果平行于一个平面，那么另一条直线或者也平行于这个平面，或者在这个平面内（图134(1）(2))； 2 图134 (3)一直线如果与两个相交平面的交线平行，那么这直线同时和这两个平面平行（图1·34(3）). 例1 两个相交平面如果分别过两条平行直线中的每一条，试证它们的交线就与这两条直线平行 [已知] 直线a‖直线b,平面M和N分别过 图135 直线a和b,M和W相交于直线c(图135). •25· ==========第38页========== [求证] cla,c‖b. [证] 直线a与平面N内的直线b平行，所以a,与平面N平行 因为a∥平面W,面直线c是过直线a的平面M与平面W的交线，所以c‖a.同理可证cllb. 例2 如果两条直线各与第三条直线平行，这两条直线互相平行（图136）. [已知] aic,i‖c. [求证] allb. 图1.36 [证] 如果直线a、b、c在同一平面内，这在平面儿何中早已证明了这结论，在此不再重复. 设直线α、b、C不在同一平面内.在直线b上任取一点 A,过直线a与点A可确定平面S,两平行直线b与0所确 定的平面为P.平面S和P有公共点A,它们必相交于过 A的一直线，设此直线为AB 已知cHa,所以c必平行于平面S,c也平行于S、P两平面的交线AB.但是直线AB、b、c在同一平面P内，因为过同一点A的两条直线AB与b同时平行于C,所以AB重合于b. 因为a‖c则直线a平行于平面P,所以直线a平行于AB,即a‖b. 因为由a1c,b‖c可得出a‖b这一性质，故称这一定理为平行直线的传递性，也称为三线平行定理. 由这一定理可知：平面儿何里的“如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”的性质，可以推广到空间 读者可以做这样一个实验，在一张纸上画三条平行直线%、b和C,以中间的一条b为折痕把纸折过来（图1·37）， ·26· ==========第39页========== 图1·37 图138 观察在空间中a是否和c平行？ 例3 在空间四边形中，连结不相邻两边中点的两直线必相交，并且互相平分（图1·38）. [已知] ABCD为空间四边形，、F、G、H分别为AB、BC、 OD、AD各边的中点 [求证] G、FH必相交并且互相平分. [证] 在△ABD所在的平面内，B、H分别为△ABD的两 边AB、AD的中点，根据平面几何中关于三角形两边中点 逢线的性质有H1BD,且网H=、同理可证明，在 △BDC中，PGIBD,FG=.因此EH丝G,可知 E、F、G、H在一个平面内，且四边形EFGH为平行四边 形.但是EG、PH为☐FGHB的对角线，所以EG、FH 必定相交，并且互相平分 下例4 空间的两个角，如果它们的对应边互相平行，并且方向相同，那么这两个角相等 [已知] /BAC和∠B1A1C1是不在同一个平面内的两个角， 它们的对应边互相平行，并且方向相同（图1·39）. [求证] ∠BAC=∠B1A1C1. [证] 在AB和A1B1上分别取相 等的线段AD和A1D1,在AC和 A1C1上分别取相等的线段A 图139 和A1B1,连结AA1、DD1、E1、DE和D1E1. 弱 ·27· ==========第40页========== 因为ADLA1D1,所以ADD1A1是平行四边形，即 AA1上DD1.同理知AA1LEE1.根据线段相等的传递性 和三线平行定理有DD1业1，所以DBE1D1是平行四边 形.由此有DE=D:E1.因此△AED≌△A1E1D1,所以 ∠BAC=∠B1AC1. 〔注意) 在平面儿何里，我们知道：“如果两个角的两双边对应平行并且方向相同或相反，那么这两个角相等；如果有一条边方向相同，而另一条边方向相反，那么这两个角互为补角”.这个性质对空间的两个角来讲也是成立的.希望读者自行证明， 1.如果平面外的两条平行线中有一条和平面内的某一直线平行， 习题 110 试证另一条直线和这个平面平行. 2.如果两条平行线中的一条与一个已知平面相交，试证另一条直线也一定和这个平面相交， [提示：可参考上题，用反证法来证明.] 3.已知直线AB平行于平面M,经过直线AB作一系列平面和平 面M相交，求证交线a,b,C,…是一组平行线. 4,如果一条直线和一个平面平行，求证：夹在这条直线和这个平面间的平行线段都相等.。 5.如果一条直线和两个相交的平面平行，则和它们的交线平行.[提示：过已知直线作两个平面分别与这两个相交平面相交.] 6.过已知点P求作个平面，使它分别与不过这点的两条已知异 面直线a和b平行. (第6题) (第7题) 7.已知AB是平面M外一直线，P是平面M外一定点，设AB不 和平面M平行.过点P作一条直线，使它平行于平面4，并且 28· ==========第41页========== 和AB相交. [提示：过点P和直线AB,确定平面N,则平面W和平面M一定 相交；在平面N内，过点P作直线平行于平面边和N的交线，此即 所求的直线。] 8.已知两条异面直线a和b,以及a和b外的一个点c.过点c和直线&、b分别作两个平面M和N,M和N相交于P,那末直线P?和a、b的位置关系怎样？ (1) (2) (3) (4) (第8题) [解]因为P?是平面M和N的交线，所以P?在平面M 内 又a在平面M内，所以PQ和a在同一个平面M内，则P2和a的位置关系可能有两种情形： (1)相交；(2)平行. 同理，P?和b的位置关系也可能有两种情形： (1)相交；(3)平行因此，可能产生下列几种情形： (1)PQ和a,b都相交； (2)P?和a平行，和b相交； (3)P2和a相交，和b平行； (4)PQ和a、b都平行. 而(4)是不可能的.因为P?a、Pg‖b,则a‖b,这与已知4，b是异面直线的条件产生矛盾.。 综上所述，可见直线P?和a、b的位置关系是：或者P?和a、b都相交；或者Pg和a、b中一条平行，和另一条相交 9.已知直线BC平行于平面M,B、D、C是直线BC上的三个点. 从平面M外一个定点A作直线AB、AD、AC,分别交平面M 于E、F、G三点.已知BC=a,AD=b,DF=C,求G的长. ●29· ==========第42页========== (U (2) (8 (第9题) 〔提示：显然A、B、E、C、G在一个平面内，在这平面内两次运用相 似三角形的比例关系，即可求得结果；本题须分三种情况分别讨论， 即A和BC在平面M的异侧，同侧且A在M和BC之间、同侧且 BC在M和A之间.] §111两条异面直线所成的角 两条异面直线之间不相交成角，为了研究两条异面直线间的位置关系，在此给它们新的定义。 图1·40中，a、b是两条异面直线. 经过空间任一点O,作OA、OB分别平 行于直线a、b.直线OA和OB所成的 锐角AOB称为异面直线所成的角，也称 为异面直线的交角. 若在空间再任取一点O1,自点O1 也分别作O1A1及O1B1平行a、b,那么 图140 根据§1·10例4“空间的两个角，如果它们的对应边互相平行并且方向相同，那么这两个角相等” 知∠AOB=∠A1O1B1.因此，这些角 的大小是由a和b的方向来决定，而 与所选取的点O、点O1的位置无关. 如果两条异面直线所成的角是直角，就称两异面直线互相垂直、 图141 例 在图1·41中的正方体里，下列直线所成的角分别是多 30● ==========第43页========== 少度？ (1)A1A和B1C1; (2)A1C1和AB; (3)A1C1和B1C [解] (1)因为B1B‖A1A,所以B1B和B1C1所成的角就 是A1A和BC1所成的角.而∠BBC1= ..A1A和B1C1成90°的角. (2)因为A1B1AB,所以A1B1和A1C1所成的角就 是A1C1和AB所成的角.而∠B1A1C1=45°， ..A1C1和AB成45°的角. (3)连结AC,因为AC‖A1C1,所以AC和BC所成 的角就是AC1和B1C所成的角. 连结AB1,因为AB1、AC、B1C分别为正方形ABB1A1、 ABCD、BCC1B1的对角线，而这三个正方形是全等的，所 以AB1=AC=B1C,则△AB1C是等边三角形. .∴.∠ACB1=60°， 即A1C1和B1C成60°的角. 〔注意) 由这个例子可知：欲求两条异面直线所成的角，常常在其中一条直线上取一点，引另一条直线的平行线，求出这两条直线的交角即可. §112直线和平面垂直的判定 在§1·8中已经讲过：一直线和一个平面只有一介公共点时，这直线就和这个平面相交 直线和平面相交，有下列两种情况：图1·42中直线a和平面M是斜交；而直线b和平面M相交的情况显然不同于直线a和平面M相交的 图142 031 ==========第44页========== 情况. 如果一条直线和一个平面相交，并且与这个平面内的任何一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直(」).这条直线称为这个平面的垂线.这个平面称为这条直线的垂面，平面的垂线和平面的交点称为垂线足 观察一下室内相邻两垛墙壁的交线，它们都分别与墙壁和地面的交线成直角；如把相邻两垛墙壁的交线看作直线，地面看成平面，这一现象启发了我们如何去判定一条直线和一个已知平面垂直。 判定 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 定理1那么这条直线就垂直于这个平面[已知] 直线AB和平面M相交于点B,并且和平面M内两 条相交直线a、b都垂直. [求证] AB垂直平面M. [证] 在平面M内过点B引直线a、b的平行线BD、BC, 则ABIBD,AB⊥BC.再过点B任意引一直线BE.延 长AB至A1,使AB=A1B.在平 面M内不过点B引一直线与过点 B的三条直线BC、BD、BE分别相 交于O、D、E,把这三点分别与A、 A1连结（图1·43）. 图1.43 在△ACD及△ACD中，CD为公共边，C、D两点 分别是线段AA1的垂直平分线CB、DB上的点， .AC=AC,AD=AD. 所以△ACD≌ACD,因此∠ACD=∠ACD 在△ACE及△ACE中，CE为公共边，AC-A1O, 已证得∠ACE=∠ACE,所以△ACE≌△A1CE,因此 AE-AE 所以△AA1E是等腰三角形，BE是它的底边AA1上 ·32 ==========第45页========== 的中点，因此AA1」BB 因为BE是平面M内过点B的任意一直线，可知AB 和平面M内的任何一直线都垂直，所以直线AB垂直平面 M, 判定 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另 定理2 一条也垂直于这个平面， [已知] AB‖CD,并且AB垂直平面M, [求证] CD垂直平面M. [证] 在平面M内，过点D任意引两条射线DG和DH,并 且过点B在平面M内作 BE‖DG,BF∥DH (图1·44). 因为∠ABE和∠CDG的两 边分别互相平行，并且有相同的方 图144 向，所以∠ABB=∠CDG:依同理可知∠ABF=∠CDH, 已知AB与平面M垂直，所以∠ABE、∠ABF都是 直角，因此∠CDG、∠CDH也都是直角.所以CD也垂 直于平面M, 〔注意) (①)在上述两条定理的证明中，为了判定一直线与一个平面垂直，都是证明直线垂直于平面内过交点的任意两条直线，然后得出直线垂直这个平面.很明显，在平面内过交点的两条直线一定是相交的 (2)如果一直线和一个平面内两条平行直线都垂直，那么这直线是不是和这个平面垂直呢？ 例如，在图1·45中，直线c与平面 M斜交于O,平面内一直线b与直线 0垂直于点O,那么在平面M内与直线 图1·45 b平行的直线a,一定也与直线c垂直.这时直线c垂直于平面M内两直线、b,但是直线c并不垂直于平面M. ·33· ==========第46页========== 由此看来，如果一直线与平面内两条平行直线都垂直，这直线与平面是不一定垂直的，这一点希望读者注意 (3)经过平面内（或平面外）一点，与一个已知平面垂直的直线只有一条. 例如，在下图中，P是平面M外（图1·46(1）)或平面 M内（图146(2）)一 点，直线PA、PB过 点P且和平面M相 交.假定直线PA、 PB都和平面M垂 图146 直，并设PA、PB所确定的平面和平面M相交于直线乙， 那么PA和PB就都要与1垂直，但是，PA、PB、乙在同 一个平面内，而在一个平面内过任意一点只能引一条直线 垂直于已知直线，因此直线PA、PB都和平面M垂直是 不可能的.所以经过一点与一个平面垂直的直线只有一条 线段的垂直平分面如果经过线段的中点且垂直于这线 段的平面，叫做这线段的垂直平分面.如图1·47中，点M 是线段AB的中点，又MC和MD都垂直于AB,则MC 和MD所确定的平面W就是线段AB的垂直平分面 定理与线段的两个端点等距离的点的轨迹是线段的垂直平 分面. 图147 图148 34 ==========第47页========== [证] 关于空间点的轨迹的证明，也和平面几何里一样，必须从轨迹的纯粹性和完备性这两方面来证明 设如图1·48，平面N垂直平分线段AB.点O是平 面N和线段AB的交点： (①)完备性证明具有与两定点等距离性质的点都在 图形上：如图，设PA=PB,连结PO,因AO=BO,所以 PO LAB于O.PO与平面N重合，可知点P在垂直平分 AB的平面N内. (②)纯粹性证明不在图形上所有的点，都不具有与 两定点等距离的性质：设点Q是不在平面N上的任一点， 又QB与平面N相交于P1,连结QA,P1A,PO,则P:O 垂直平分AB,所以P1A=P1B,在△QP1A中，QP1+P1A 、>QA,就是RP1+P1B=QB>QA. 综合(1)、(2)，定理得证 例1 试证明：一条直线如果平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直（不一定相交）. [已知] 直线a∥平面M,直线b⊥平面M(图1·49). [求证] a⊥b. 分析 要证明a上b,就是要证明直线a和b成90°的角 a和b在一般情况下是异面直线 图149 不妨在一条直线上取一点作另一条直线的平行线，求这两条直线的夹角.例如，在直线b上，取直线b和平面M的交点A,过点A作直线c‖直线α.问题便化为只须证明直线b和直线c成90°的角.注意到直线c可以由直线a 和点A所确定的平面N和平面M相交得到，由此得出下 面的证法 [证] 令直线b和平面M交于点A. 过直线a和点A作平面N,和平面M交于直线c. ·35· ==========第48页========== 因为a平面M,故由线面平行判定定理可知： a‖c. 所以直线c和直线b所成的角就是直线a和直线b所成的角。 而b平面1，由垂直的定义可知： b⊥c. 即直线c和直线b成90°的角，所以直线a和直线b也成90°的角，即 a18. 例2 有一旗杆高12米，从它的顶端挂下一条长13米的绳子，拉紧绳子，把它的下揣放在地平面上两点，而这两点和旗杆的脚不在同一条直线上.如果这两点和旗杆脚的距离都是5米，求证这旗 地面 杆和地面垂直. [已知] 如图150中，旗杆P0=12米， 图1.50 绳子长PA=PB=13米，OA=OB=5米，且点O、A、B不 在一直线上. [求证] 旗杆PO⊥地面. 分析 要证明旗杆POL地面，由线面垂直的判定定理可知， 只须证明P0LOA,PO LOB,即证明∠POA=∠POB= 90°.面这可由已知△POA,△POB的三边长而应用勾股 定理的逆定理来证得[证] 在△POA中，已知 P0=12米，PA=13米，0A=5米， .·122+52=132 .∴.PO9+OA3=PA2, ,∴.∠POA=90°； 同理 ∠POB=90°. ◆36· ==========第49页========== 即 P0⊥O4,P0⊥OB 因为O、A、B不在一直线上，所以OA、OB是两条相 交直线，根据线面垂直判定定理可得： PO上地面. 例3 在一条已知直线上求和两个已知点等距离的点 [已知] 空间两定点A、B和直线乙， [求] 在直线？上取一点P,使PA=PB [解] 如图151，连结AB线段，过AB的中 点O画平面N垂直平分线段AB,使与直 线？相交于点P.则点P在AB的垂直平 分面N上，所以PA=PB,点P又在平面 N与1的交点上，所以点P即为所求的点. 图1.51 〔注意) (1)如果AB线段的垂直平分面N与直线？平行，则 本例无解， (2)如果直线1在AB线段的垂直平分面N内，则？ 上的所有点都和A、B两点等距离，故本例有无穷多解 习题 1.求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直（不一定相 112 交)，那么也和另一条垂直（不一定相交）.[提示：应用异面直线互相垂直的定义.] 2.能不能作一条直线同时垂直于两条相交直线？为什么？ 3.两个相交平面为什么不能有一条公共的 垂线？ [解]平面M和平面N相交，我 们用反证法来证明.假定平面M和N 有一条公共的垂线AB,我们来推出矛 盾 (第3题) 过AB任作一平面，与平面M和N分别相交于AC和BC, 因为AB⊥平面M,而AC是平面M内的一直线，所以AB⊥ AC;同理可证ABLBC. 这样，在同一平面ABC内，过一点已有两条直线AC、BC同 时垂直于AB,这是不可能的.所以上面的假定不成立，即： ·37。 ==========第50页========== 平面M和N没有公共的垂线。] 4.一直线与一个平面相交，但不垂直.能不能在平面内过交点作 一条和它垂直的直线？ 5.如图平面M、N相交于P?,线段OA、OB分别垂直于平面M、 2N. 求证(1)P⊥平面OAB;(②)P9⊥AB. N (第5题) (第6题) 6.在平面P内有直角BCD、AB垂直于平面P,求证CD垂直于 AB和BC确定的平面. 7.已知平面M和平面M外的两已知点A、B,求在平面M上并与 A、B两点有等距离点的轨迹 8.已知A、B、C三个点，求与这三点有等距离点的轨迹.如果A、 B、C三点在一直线上，轨迹是否存在？ §1·3直线和平面垂直的性质定理 性质 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线互 定理1相平行. [已知] 直线AB、CD都垂直于平面M. [求证] AB‖CD(图1.52). [证] 假定AB和CD不平行，那么可 以自点D作DE BA,因为AB垂 图1.52 直平面M,根据直线和平面垂直判定定理2，可知ED垂 直平面M,但题设CD也垂直平面M于点D,所以DO与 DE重合（判定定理2中的注意(3）)，就是AB‖CD, 性质 过直线上一点而与这直线垂直的直线，都在过这点而 定理2 垂直于这直线的平面内， ‘,38· ==========第51页========== [已知] 直线AB、AC、AD、…等都和直线1垂直于点A, [求证] AB、AC、AD、…等直线都在垂直L于点A的平面 内 [证] 过AD、AC确定平面M,那么平面M垂直直线1于 点A(图153). 过AB、1确定平面N,因为平面 M和N有一个公共点A,它们一定相 交于过点A的一直线，设交线为AB1 因为直线？垂直平面M,所以 图153 7⊥AB1.又知？垂直AB,所以？同时垂直AB、AB1于点 A.因为AB、AB1在同一平面N内，因此AB与AB1重 合.即AB也在平面M内. 同理可以证明，垂直直线飞于点A的任何直线，都在 垂直？于点A的平面内. 所以，过直线上一点而与这直线垂直的直线，都在过这点而垂直于这直线的平面内.例 AB和CD都是平面M的垂线，垂足分别为B、D.已 知AB=4om,CD=8cm,BD=3cm,求AC之间的距离.[解] 本题有两种情况： (1)点A和C在平面M的同侧（如图1·54(1）). 因为AB⊥平面M,OD⊥平面M,根据线面垂直性 (1) (2) 图1.54 ·39· ==========第52页========== 质定理1可得： AB CD. 又由线面垂直的定义可知 ABI BD,OD⊥BD, 即ABDO为一直角梯形；在ABDO所在的平面内，过点A 作AE‖BD,则CE⊥AE. 在直角△ACD中： AF=BD=3cm, CE=CD-ED=CD-AB=8-4=4om,,∴.AC=/A+E02=√38+4=5cm. (2)点A和0在平面M的异侧（如图1·54(2）). 同(1)可证 AB ICD,AB⊥BD,CD⊥BD, 在相交直线AC、BD所决定的平面内，过点A作AE ‖BD,与OD延长线交于点E. 在直角△ACD中： AE=BD=3cm, CE=CD+DE=CD+AB=8+4=12cm, .:.A0=√/A02+0=/32+12=√/153≈12.4cm.答：当点A和C在平面M的同侧时AC=5cm;当点A和C在平面M的异侧时AC12.4cm. 1.两直线同时垂直于一个平面，试问它们的位置关系如何？同时 习题 113 垂直于一条直线呢？ 2.如果一条直线和一个平面同和一条直线垂直，求证这条直线或者平行于这个平面，或者在这个平面内，3。求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直[提示应用反证法。] 4.地面上有两根相距米而直立于地面的竹竿，它们的长分别为b米和C米，求它们上端的距离(b>c). ·40 ==========第53页========== §1·14平面的垂线和斜线 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这直线称为这个平面的斜线.斜线和平面的交点称为斜线足简称为斜足， 从平面外一点，到这个平面引垂线和斜线，从这点到垂线足的线段的长称为从这点到这个平面的垂线的长，从这点到斜线足的线段的长称为从这点到这个平面的斜线的长，在平面内连结垂线足和斜线足的线段称为斜线在平面 内的射彩.例如，在图1·55中，AB是从点 A到平面M的垂线的长，AC、AD、AB 等是从点A到平面M所引斜线的长， BO、BD和BE等分别是斜线AC、AD 和AB等在平面M内的射影. 图1.55 关于射影的一般定义和应用，以后还要作进一步的叙述，现在先证明斜线长定理和射影长定理 定理 从平面外一点到这平面引一条垂线和若干条斜线：(①)射影相等的两条斜线相等； (2)射影较长的斜线较长. [已知] AB垂直平面M,AC、AD、AE是从点A到平面M 的斜线，并且BC=BD,BE>BC(图1.55). [求证] (1)AC=AD; (2)AE>AC. [证] 既然AB垂直平面M,所以ABI BC,AB BD, AB⊥BE (1)在△ABC及△ADD中，因两条直角边对应相 等， ·'.△ABC≌△ABD, •41· ==========第54页========== 于是 AC=AD (②)既然BB>BC,故可在BE上截取BF=BO,连 结AF、 .·BF=BC,.‘.AF=AC. 但在AB和AE所确定的平面内，BE>BF,所以AB> AF.因此AE>AC. 定理 从平面外一点向这平面引一条垂线和若干条斜线： (1)相等斜线的射影相等； (2)较长斜线的射影较长， 上述射影长定理是斜线长定理的逆定理，希望读者应用反证法自己加以证明 在§1·12中已经证明，经过平面外（或平面内）一点作与一个已知平面垂直的直线只有一条；注意到平面的垂线在平面内的射影可以看作是一个点.因此，从平面外一点引和这个平面相交的斜线和垂线，从而可以看出，垂线比任何一条斜线都短.也就是说，连结平面外一点和平面内各点的一切线段中，以垂线最短.从平面外一点到这个平面所引垂线的长，称为从这点到这个平面的距离，例1 P是△ABC所在平面M外的一点，如果点P和A、 B、O三点的距离相等，求证点P到 平面M的垂线足O是△ABC的外 心（图156）. [证 因为PO是平面M的垂线，而 图156 PA、PB、PC是平面M的斜线，连接OA、OB、OC,则它们 是斜线PA、PB、PC在平面M内的射影 因为PA=PB=PO,根据射影长定理可知： OA=0B=OC. 则点O是△ABC的外心 〔注意] 这个问题的逆命题也是成立的.如果点O是△ABC ·42· ==========第55页========== 的外心，过点O作△ABC所在平面M的垂线，则此垂线 上任意一点P到△ABC的三顶点A、B、C的距离都相等。 这一事实可根据斜线长定理来证明 例2 一条直线和一个平面平行，试证明直线上各点到平面的距离相等 [已知] 直线a{平面P(图1·57). [求证] 直线a上各点到平面P的距离相等。 图157 分析 要证明直线，上各点到平面P的距离相等，只要在直 线G上任意取两点A、B,证明A、B两点到平面P的距离 相等就可以了. [证] 在直线a上任意取两点A、B,过A、B分别作平面P 的垂线AA1、BB1,垂线足分别为A1、B1. .AA1L平面P,BB1⊥平面P, ,∴.AA1‖BB1(直线和平面垂直性质定理1) 过两平行直线AA1和BB1作平面R,和平面P交于 过A1和B1的直线A1B1. ·g‖平面P, .a‖A1B(线面平行的性质定理). AA1L平面P,BB1L平面P, .AA1上A1B1,BB11A1B1, 即AA1、BB1是平行线a和A1B1间的距离， ·‘.AA1=BB1, 即直线G上各点和平面P的距离相等 〔注意) 这个问题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离的问题，转化成平面几何中平行直线之间的距离的问题.这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解立体儿何问题时常常要用到的 一条直线平行于一个平面，这条直线上任意一点到 43 ==========第56页========== 这平面的距离称为互相平行的直线和平面之间的距离。 §115直线与平面所成的角 设有一个平面M和这平面的一条斜线AB(如图 1·58),这斜线和平面M内过斜线足B的各直线组成大小 不同的角，这些角中有一个角是最小的 定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这斜线和平面内过斜线足的直线所成的一切角中最小的角. [已知] ∠ABO是斜线AB和它在平 面M内的射影BO所成的锐角. BD是平面M内过B而异于BC 的任意一条直线（图1·58）. [求证] ∠ABO<∠ABD 图1.58 [证] 在BD上取BE=BC,并连接AB.在△ABO和 △AB中，AB是公共边，BC=BE;因为AC是垂线，面 AD是斜线，即有ACAA'. 通过作直线与两条已知异面直线都垂直相交的作图，我们还可以知道： (1)与两条异面直线都垂直的直线叫做异面直线的公垂线。与两条异面直线都相交的公垂线只有一条 (2)与两条异面直线都相交的公垂线夹在两异面直线间的线段的长称为两条异面直线间的距离.如图1·110中 的线段AA', (3)在§1·14例2已经证明：一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到平面的距离相等。因此这些与两条异面直线垂直但不是都相交的线段，它们的长度是和两条 异面直线间的距离相等的.如图1·110中，G=A'A.可 以应用这一性质来求两条异面直线间的距离例5 设在长方体ABCD-A1B:C1D1中，CC1=150m,CD=20cm,求线段B1D与B0间的距离（图1·111）， [解] 由上例知道，欲求B1D与BC 两线段间的距离，只要求出BC上 任一点到过B1D而与BC平行的平 面的距离即可， 在长方体的一个侧面CDD1C1 图111 内，连结C1D.因为B1C1‖BC,所以BC平行于平面 BC1D,在平面CC1D1D内，自C作CHLC1D,因为平面 BC1D与平面CCD1D互相垂直，而CH垂直于它们的交 线C1D,所以CH垂直于平面B1CD在△CDC1中， ∠C:CD=90°，CC1.=15,CD=20, ●89· ==========第102页========== ,'.01D-250m. C丑=CC1×CD20×15 CD 25 =12(cm). 答：线段B1D与BC间的距离为12om. 1.ABCD-一A1B1C1D1是正方体，它的每条棱长是a.求：(1)CC1 习题 12 和AB的距离；（②）A1B和D1C1的距离；(3)AA1和B:D1的距 ② 离 (第1题) (第2题) 2.4、b是两条异面直线，平面M经过a而平行于b,求证b和平面 M的距离就等于b和a的距离， 3.求证：如果两个平面分别垂直于两条异面直线中的一条，那么这两个平面的交线平行于这两条异面直线的公垂线。 (第3题) (第4题) 4.求证：一个平面如果垂直于两条异面直线的公垂线而不经过它们中的每一条，那么这个平面和这两条异面直线分别平行.[提示：如图，分别画出a,c和b,c所确定的平面和平面M的交线] 5.a、b是两条异面直线，平面M和N是分别过a、b的两个平行平面，求证平面M与N的距离和直线a与b的距离相等。[提示：证明两异面直线的公垂线即为两平行平面的公垂线.] (第6题) *6.不在同一平面内的四点，两两连以线段，每两点的连线长都等于 ==========第103页========== α，求它的相邻两面的二面角以及相对两线段间的距离， [提示：自点A向△BCD所在平面引垂线AO,因为AB=AC=AD =a,且BC=CD=DB,即△BCD等边，∴.点O是等边△BCD的 中心，再引长B0交CD于E,连AE,则∠AEO是二面角CD的平 面角。再经过计算即可求得∠AE0-a009子·其次再取AB的中 点M,则可证得ME是相对两线段的公垂线，然后再算出ME= 1 §1·26多面角 在§1·20~§1·24，主要讨论了两个相交平面的位置关系以及它们的性质，下面将研究三个或三个以上的平面相交于一点的图形的位置关系和性质 观察一下相邻的两面墙壁和平屋顶这三者之间所成的屋角，公园中六个角或八个角的亭子的尖顶，这些图形中的角，不同于§1·20所叙述的二面角，这就引出了多面角的概念. 设有已知平面M和这平面M内的任意一个简单多边 形.例如图1·112中的四边形ABCD.在平面M外取任 意一点S,把它和已知的多边形各颤点 用射线SA、SB、SC、SD连结起来，并 过已知多边形相邻顶点的每两条射线分别作平面，由这些射线所限制的平面部分组成的图形，称为多面角， 组成多面角的射线称为多面角的棱 图1.112 (图中SA、SB…即是).这些射线的公共端点称为多面角的 项点<图中的点S),相邻两棱间的平面称为多面角的面（图 中SA、SB间的平面部分等等).在每个面内由两条棱组 成的角称为多面角的面康（如∠ASB、∠BSC等等），每相 ●91· ==========第104页========== 邻两个平面间的二面角称为多面角的二面角（如D-SA一 B等等) 一个多面角的面数等于它的棱数、面角数、二面角数.多面角的面数至少的是三；有三个面的多面角称三面角，有 四个面的多面角称四面角，其余类推。把一个多面角的任 一个面伸展成平面，如果所有其他各个面都在这个平面的同旁，这样的多面角称凸多面角.如图1112的多面角是凸多面角，图1·113的多面角就不是凸多面角 对于一个凸多面角，如果用一个平面截它的各个面，得到的是一个凸多边形。 本书只研究凸多面角，以后讲到的多面角都是指凸多面角. 多面角可以用几个字母来表示，例 图1.113 如图1·112中的四面角，我们可以记作多面角S一ABCD, 有时也可以用页点的一个字母表示，例如多面角S. 〔注意) 图1·114(1)中阴影部分不是组成多面角的一个元素，主要是为了使图形比较容易看清楚，才把它作出，否则，如图1114(2)，它也是一个四面角，但看起来不及图1·114(①)中四面角来得直观和清晰。 (1) (2) 图1.114 经常接触到的多面角是三面角，而三面角中常见到的又是三个面角都是直角的三面角，例如：屋顶，箱子的一角， ◆920 ==========第105页========== 等等。象这样三个面角都是直角的三面角，称为直三面角图1·115(1)是一个直三面角的一般画法，图中O龙、0y、0 是三面角的棱，M、N、P是面，点O是三面角的顶点 所有面角相等，所有二面角也相等的多面角称为正多 面角.如图1·115(2)是一个正四面角，其中面角∠ASB =∠BSC=∠CSD=∠DSA,二面角SA等于二面角SB 等于二面角SC等于二面角SD. M (1) (2) 图1.115 例1 一个平面截直三面角的三条棱，求证截面三角形的垂心是这三面角的顶点在这平面内的射影 [已知] 直三面角S一ABC,一平面和它的 棱分别相交于A、B、C,△ABC的垂心 为0 图1116 [求证] 点O是点S在平面ABC内的射影 [证] .·S-ABC是直三面角， ..SA⊥SB,SA⊥SC ∴.SA⊥平面BSC; 因此 SA BC 点O是△ABC的垂心， ADBC, BOL平面SAD; 则 SO⊥BC. 93· ==========第106页========== 同理可证 SO AB.· ,.SO⊥平面ABC. 即点O是点S在平面ABC内的射影 例2 在三面角S一ABC中，∠BSC= 90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB =SC.求证过A、B、C三点的平面必 垂直于平面BSC [证] 设SA=SB=SC=a, 图1.117 ∠ASB-=∠ASC=60°， ·.△SAB和△SAC是等边三角形， .∴.AB=AC=SA=a. ∴.'∠BS0=90°， .△BSC是等腰直角三角形， .BC=/2SB=√2a. 在平面ABC内，自点A作AD⊥BC: .·AB=AC, ,'.△ABC是等腰三角形， .BD=DC, 因此 0-0= 在直角△ADC中 =a0-D-√0-（可-。 “.·△BSC是等腰直角三角形， DS=BD=D0=√② 2. 从而D+AD-(a)-(a°-o-8, ∴.∠ADS=90°，.∴.ADLDS. 既然BC和DS是两条相交直线，因此 ==========第107页========== AD上平面BSC. .·平面ABO过直线AD, .∴.平面ABOL平面BSO 习题 1.求证：在三面角中，如果有两个二面角是直二面角，那么，它们 126 所对的两个面角都是直角. 2.已知一个三面角的三个二面角都是直二面角，求证它的三个面 角都是直角， 3.在直三面角内，一个点到三个面的距离分别等于1dm,2dm,2dm.求这点到三面角顶点的距离. 4.直三面角O一ABC内有一点P,已知OP在三面角的三个面内 的射影的长分别是a、b、C,求证OP=Va2+b2+c2 2 5.在一个三面角中，两个面角都是45°，它们所夹的二面角是直 角，求第三个面角， 6.一个三面角各个面角都是60°，在一条棱上自顶点截取3cm长的线段，求这线段的另一端向所对的面所作垂线的长 [提示：过垂足O作OD⊥SC,连结AD,依次求出SD、SO.] (第6题) (第7题) 7.在三面角了一y%中，两个面角∠xTy、∠x78都是45°，面角∠yV%为60°，求二面角Vc的大小？ [略解：在二面角V棱上任取一点A,自点A分别在平面xVy及xVg内作AB、AC垂直Vg,那么∠BAC即为二面角Vx的平面角. 设VA=a,在等腰直角三角形CVA中，VC=√2a.同理，VB-V2a. 因为∠BVC=60°，VB=C,即△BVC为正三角形，所以 BC-VB=V2a 在△ABC中，AB=AC=a,BC=V2a,因AB2+AC2=BC,所以∠BAC=90°，也就是二面角Vc=90°. •95· ==========第108页========== 8.一个三面角的两个面角相等，求证这两个面角所对的二面角也相等. [提示：过棱VB上任一点B作平面AVC的垂线 BH,自垂足H作丑A⊥VA,HCLVC,分别连结 BA和BC.可以证得∠HAB和∠HCB分别是 二面角VA和VC的平面角，再求得它们相等就 好了.] (第8题) 9.一个三面角的两个二面角相等，求证这两个二面角所对的两个 面角也相等 、.10.如果一个三面角的三个面角相等，则它们所对的二面角也相等； 并证明它的逆命题也成立. §1·27补三面角、三面角和多面角的性质定理 任何一个多面角，可以将其看作是由若干个三面角组成的.例如四面角，可以作过相对的两棱的平面将它分成两个三面角.由此表明，三面角是研究多面角的基础. 如果一个三面角的三条棱分别垂直于另一个三面角的 三个面，这个三面角就称为后，一个三面角的补三面角. 如图1·118中的三面角S1一 A1B1C1是三面角S一ABO的补三面 角，则后一个也是前一个的补三面角. 事实上，如果S1B1垂直于面 SAO,则S1B1⊥SA,同理S1C1⊥SA, 因此SA垂直于面S1B1C1.同样， 图1.118 SB、SC分别垂直于面S1A1O1和S1.A1B1 如果两个三面角S一ABC与S1一A1B1C1是互补的， 测其中一个三面角的面角分别与另一个三面角的对应二面角的平面角互补. 事实上，∠ABS1=∠ACS1=90°，则∠BAC1十 ·96· ==========第109页========== ∠B1S1C1=180°，又∠A1BS=∠ACS=90°，则∠BA0 +∠BSC=180°.同理其他面角与对应二面角的平面角 也互补 性质 三面角的任何一个面角小于其他两个面角的和，√ 定理 三面角中的不是最大的一个面角，当然小于其他两个面角之和；因此，要证明这个定理，必须证明三面角中最大的一个面角小于其他两个面角的和 L已知] 三面角S-A1BO1中， ∠ASC1是最大的一个面角（图 1·119). 图1.119 [求证] ∠ASC1<∠A1SB:+∠BSC1. [证] 在面角ASC内，以S为顶点，SA1为边，作∠A1SD1 =∠A1SB1.在SD1上任取一点D,自点D任意作一直线 分别交SA1、SC1于A、O,在SB1上截取SB=SD,并且 连结AB、BC. 在△SAD和△SAB中，因为SA=SA,SD=SB, ∠ASD=∠ASB,所以△ASD≌△ASB,因此AD=AB. 在△ABO中，AO∠ADC; (1) 在三面角B一ACD中， ∠ABD+∠DBC>∠ABC; (2) (1)+(2),得： ∠ADB+∠BDC+∠ABD+∠DBC >∠ADC+∠ABO;· (3) (3)式两边都加上∠A+∠C;得 ∠A+∠ADB+∠ABD+∠BDC+∠DBC+∠C >∠A+∠ABC+∠ADC+∠C. (4) 但在△ABD和△BCD中， ∠A+∠ADB+∠ABD=180°， ∠BDC+∠DBC+∠C=180°， .'.∠A+∠ADB+∠ABD+∠BDC +∠DBC+∠0=360°. 代入（(4)式的左边得 360°>∠A+∠ABC+∠ADC+∠C, 即 ∠A+∠ABC+∠ADC +∠0<360°， 例2 三面角中，较大的二面角所对的面角也较大 [已知] 在三面角S一ABC中，二面角B一 图1122 ·99· ==========第112页========== SA一C>二面角A-SB-C. [求证] ∠BS0>∠ASO. [证] 作二面角B、一SA一D,使它等于二面角A一SB-(0, SD为平面SAD和平面SBC的交线， .'二面角B一SA一O>二面角A-SB一C, ∴.二面角B—SAC>二面角B一SA--D, '.平面SAD在二面角B一SA一C的内部， .SD在∠BSC的内部 在三面角S一ABD中，因为 二面角B一SA一D=二面角A-SB-C, 由习题1·26第9题可知： ∠ASD=∠BSD, 但在三面角SACD中，根据三面角的性质定理可 知： ∠ASD+∠CSD>∠ASC, .∴.∠BSD+∠CSD>∠ASC. 即 ∠BSC>∠ASC 〔注意) 上例的证明可以与平面儿何学中的“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”相对照.它们的证明方法也是类似的.与平面几何学一样，它的逆命题也是成立的.即“三面角中较大的面角所对的二面角也较大”，可以应用反证法加以证明， 由此可见，立体几何学中的三面角与平面几何学中的 三角形是相对应的.平面几何学中有关三角形的许多定理可以推广到立体几何学的三面角中来.本节的三面角的性质定理，下面两节中多面角的全等和多面角的对称以及有关的一些习题都可以与三角形性质对照研究， ·100· ==========第113页========== 习题 1.由下列每一组中的二个角做面角，能不能构成三面角？ 127 (1)73°，62°，47°；(2)150°，52°，84°；(3)180°，90°，90°. 2.求证：多面角的任何一个面角小于其他面角的和[提示：过其中一条棱和其他各棱分别作平面.] 3.用下列每一组中的几个角做面角，为什么不能构成多面角： (1)180°，70°，60°，60°；(2)100°，150°，130°，90°，(3)150°，20°，70°，50°. 4.过一点A的三条直线AB、AC和AD间的角为∠BAC=120°， ∠C.AD=75°，∠BAD=102°，这三条直线是否在同一个平面 内？为什么？ 5.从平面外一点向平面引两条斜线，如果它们和平面所成的角分别为64°和23°，求这两条斜线夹角的范围. 6,在三面角V一ABC内，自顶点V引一直线VX,求证： (④)∠AyX+∠BVX+∠CX>(∠AVB+∠BC+∠CVA, (2)∠AVX+∠CVX<∠AVB+∠BVC; (3)∠AVX+∠BVX+∠CVX <∠AVB+∠BVC+∠CVA, [解法举例：(I)在三面角V一ABX、V-BCX 和V一CAX中，由三面角的性质定理可知： ∠AVX+∠BVX>∠AVB; ∠BVX+∠CVx>∠BVC; (第6题) ∠CVX+∠AVX>∠CVA. 将三式两边分别相加，得： 2(∠AVX+∠BVX+∠CVX)>∠AVB+∠BVC+∠CVA ∴.∠AVX+∠BVX+∠CVX >∠aB+∠Bo+∠C7a. (②)延展平面AVX,和平面BVC交于直线VD. 在三面角V一ABD中： ∠AVB+∠BVD>∠AVD, 在三面角V一CDX中： ∠DVX+∠GVD>∠CVX. 将上两式的两边分别相加，得 •101 ==========第114页========== ∠AVB+∠BVD+∠DVX+∠CVD>∠AVD+∠CVX. .'∠BVD+∠CVD=∠BC,∠A7X+∠DVX=∠AVD, '.∠AVB+∠BVO+∠DVX>∠AVX+∠DVX+∠OVX. .∴.∠AVB+∠BVC>∠AVx+∠CVX. 即 ∠AVX+∠CVxX<∠AVB+∠BVC. (3)由(2)得 ∠AVX+∠CVX<∠AVB+∠BVC; 同理可证 ∠AVX+∠BVX<∠AVC+∠BVC; ∠BVX+∠CVX<∠AVB+∠AVC. 三式两边分别相加，得 2(∠AVx+∠BVX+∠CVX)<2(∠A7B +∠BVC+∠CVA), ∴.∠AVX+∠BVx+∠CVX <∠AVB+∠BVC+∠CV4A.] §1-28多面角的全等 把一个多面角放到另一个多面角上，如果它们的各个对应的部分（顶点、面、面角、二面角）能够完全重合，那末这两个多面角称为全等的多面角。 判定两个三面角全等，有下列定理： 定理1 如果一个三面角的两个面角和它们所夹的二面角，与另一个三面角的两个面角和它们所夹的二面角对应相等，并且位置顺序相同，那么这两个三面角全等。 在证明这一定理之前，首先要搞清楚什么是位置顺序相同？所谓位置顺序相同，一般是指两个多面角的对应元素（例如二面角、面角等）的排列顺序是否全部按照顺时针方向，或者全部按照逆时针方向.例如在图1·123(1)中的 两个三面角中，∠AVB<∠BVC<∠AVO,∠A1VB1< ∠B1V1C1<∠A1VC1,从顶点V及V1向下看时，这三个 ·102· ==========第115页========== 不相等的面角，它们的位置顺序都是按逆时针方向转动的，因此这两个三面角的三个对应面角的位置顺序是相同的. (2 图1.123 如果两个三面角中（图1·123(2）)，设∠AVB< ∠BVG<∠AVC,∠A1V1B1<∠B:V1C1<∠A1V1C1,但 它们的排列顺序是不同的，其中三面角V是逆时针方向， 而三面角V1是顺时针方向，那么这两个三面角的三个对 应面角的位置顺序是相反的[证] 在三面角V一ABC和V1-A1BC1中（图1.124）， 设两对相等的面角是∠AVB=∠AV1B1,∠AVC= ∠AVC. 把三面角V放到三面角 V1上，使顶点V和V重合，棱 VA和V1A1重合，VA、VB所 在的平面和V1A1、V1B1所在 的平面重合.由于所设的面角 图1.124 和二面角的位置顺序相同，VA、VC所在的平面和V1A1、 VC1所在的平面都在V1A1、V1B1所在的平面的同旁；既 然二面角VA和二面角V1A1相等，所以VA、VC所在的 平面和VA1、V1O所在的平面重合.又因∠AVB= ∠A1V1B,∠AVC=∠A1V1C,所以棱VB与V1B1重合， 棱VO与VC1重合；因此VB、VC所夹的面和V1B、 VC1所夹的面重合.这样，三面角V一ABC和V1一 A:B1C1的各部分就完全重合，所以这两个三面角全等. •103· ==========第116页========== 定理2 如果一个三面角的两个二面角和它们所夹的面角，与另一个三面角的两个二面角和它们所夹的面角对应相等，并且位置顺序相同，那么这两个三面角全等. 读者可以参考证明定理1的方法，用迭合法加以证明。 定理3 如果一个三面角的三个面角与另一个三面角的 三个面角对应相等，并且 图1.125 位置顺序相同，那么这两个三面角全等（图1·125）.[证] 在三面角V、V1各对应棱上分别截取VA=V1A1, VB=V1B1,VO=VO1.连结AB、BC、AO;A1B1、B1C1、 A1C1. 在△VAB及△V1A1B1中，VA=V1A1,VB=V1B1, 题设∠AVB=∠A1V1B1,所以△AVB≌△AVB,因 此AB=A1B1.同理可证BO=B1C1,AC=AC1.即知 △ABO≌△A1B1C1. 在棱VA上取一点D,并在VA1上截取V1D1=VD, 分别在二面角VA及V1A1的两个平面内自点D及D1 作DE⊥VA,DFLVA;DE1⊥V1A1,D1F1⊥V1A1,则 ∠EDF及∠EDF1分别是二面角VA及二面角V1A1的 平面角. 在△DAE及△D1A1E1中，因为∠ADE=∠A1D1E1 =,∠DAE=∠DA1E1,又AD=AD,所以△ADE≌ △A1D1E1,则AE-A1E1,DE=D1E1;间理可证△ADF ≌△A1D,F,则DF=D1F1,AF=A1F;既然△ABC≌ △A:B1C1,即有∠EAF=∠E1A1F1,所以△AEF≌ △A1E1F1,从而F=EF1.于是△DEF≌△D1E1F1, 从而∠EDF=∠E1DF1,即二面角VA、V1A1的平面角 ·104• ==========第117页========== 相等，所以二面角VA=二面角V1A1,于是，根据两个三 面角全等的判定定理1，即可知这两个三面角全等 定理4 如果一个三面角的三个二面角与另一个三面角的三个 二面角对应相等，并且位置的顺序相同，那么这两个三面角全等. 读者可应用补三面角的性质，把上面这两个三面角的条件，转化为它们的补三面角，则具有三个面角对应相等，并且位置的顺序相同，由定理3可证得它们的补三面角全等，从而证得原来的两个三面角也全等 §129多面角的对称 在平面几何里已经讲过，平面内的两个对称图形是可以重合的；但空间对称图形却不具有这一性质。下面以多面角的对称来说明这一问题 设将三面角V一ABC的各棱向顶点V的方向分别延 长到A1、B1、C1,那么这三条棱延长的部分和它们所夹的 面组成了一个新的三面角V一A1B1C1.在 三面角V一ABC与三面角V一A1BC1 中，它们的对应面角都是分别在同一平面 内的对顶角，所以∠AVB=∠AVB1, ∠AVC=∠AVC1,∠BVC=∠B1VC1. 其次，它们的对应二面角由于都是对棱二 面角，所以二面角VA=二面角VA1,二面 图1.128 角VB=二面角VB1,二面角VC=二面角VC1.但是，它 们的对应元素的位置顺序相反，象这样的两个三面角称为对称的.对称的三面角的对应元素是相等的，但是对应元素的位置顺序正好相反，所以它们不能重合.例如，可以把两只手套看作是对称的，但是要把它们套起来，使各个对应 ·1o5c ==========第118页========== 部分（即手心、手背、以及五个指头）的顺序都一样却不可能.除非有这样一种手套，即不分手心和手背，不分拇指与小指，那末它们既对称又能重合.对于多面角也是一样的，两个对称的多面角不一定可以将它们重合，面它们的各对应部分是相等的. 〔注意〕 多面角的全等和对称，是多面角这一内容中较难掌握的一部分.读者不妨自已制作一些模型，再对照本书的叙说，进行演示和练习，这样会减少理解时的困难 图1·127是三个三面角的模型，其中图(1)和(2)是两个全等三面角的模型，图(1)和(3)或(2)和(3)是两个对称 三面角的模型，按照附图所示来粘贴，制作三个三面角. 红色 红色 白色 130 130 00 100 30 白色 色 白色 红色 (1) (2) (3) 图1.127 例 在四面角S一ABCD和S1一A1B1C1D1中，已知： 二面角D一SA一B=二面角D1-S1A1一B1, 二面角A一SB一C=二面角A1一S1B1C1, 二面角B一SC—D=二面角B1一SC1一D1; 义∠ASB=∠AS1B1,∠BSC=∠B1S1O;并且各相等部 分的位置顺序相同.试证明： 二面角A一SD-C=二面角A1一S1D1-C1 图1.128 ·1084 ==========第119页========== [证] 在三面角S一AB0和S1-A1B1O1中，因为 ∠ASB=∠A1S1B1, ∠BSC=∠B1S1O1, 二面角A-SB一C=二面角A1-S1B1C1, 并且它们的位置顺序相同，根据三面角全等的判定定理1可知： 三面角S-ABC=三面角S1一A1BC1. 则 /ASC=∠A1S1C1, 二面角B—SA一C=二面角B1—S1A1一C1, 二面角A一SC-B=二面角A1一S1C1一B1. 但 二面角B一SA一D=二面角B-S:A1一D1, 二面角B一SC一D=二面角B1一S1C1一D1. 所以，在三面角S一ACD和S1-A1C1D1中： 二面角C-SA一D=二面角C1—S1A-D1 二面角A一SC一D=二面角A1一SC1一D1, /ASC=∠A1S1C1. 并且它们的位置顺序相同.根据三面角全等的判定定理2可知： 三面角S一ACD=三面角S1一A1C1D1, .二面角A-SD一0=二面角A1一S1D1一01 习题 1.一个多面角的全等多面角和它的对称多面角之间，有什么相同 129 之处和不同之处？ 2.求证：直三面角的对称三面角和原来的直三面角全等. 3.求证：两个三面角的两个面角和它们所夹的二面角对应相等，并且位置顺序相反，则这两个三面角对称 [提示：延长一个三面角的三条棱，证明所得的三面角与另一个三面角全等.] 本章提要 本章主要是叙述直线与直线、直线与平面、平面与平面 4107· ==========第120页========== 等各种位置关系和它们的性质；在平面内表示平面图形的绘图方法；以及点、线、面之间的距离计算 1.平面平面的基本性质和平面的确定，是研究立体几何的基础，因为一个空间图形确定它是一个平面图形后，就可以运用平面几何知识进行研究： 从平面的性质公理和不在一直线上的三点确定一平面的公理，推得三个确定平面的条件：()过一条直线和这直线外一点；(2)过两条相交直线；(3)过两条平行直线 2,直线与直线的位置关系 (1)重合一有元数个公共点： (2)相交—一有一个公共点； (3)平行一在同一平面内但没有公共点；(④)异面直线一不在同一平面内的两直线 重合、相交、平行都是同一个平面内的两直线，要确定它们的位置，只要知道它们的交角或距离就可以了，例如，知道了两相交直线的交角的度数，就可以确定这两相交直线的位置关系；知道了两平行线之间的距离，就可以确定这两平行直线的位置关系.要确定两异面直线的位置关系，不仅要知道它们的交角的度数，而且还要知道它们之间的距离.至于两条重合的直线，可以看成是交角等于零度，或者看成它们的距离等于琴 3.直线与平面的位置关系 (①)直线在平面内一直线和平面有无数个公共点： (2)平行一直线和平面没有公共点； (3)相交一直线和平面有一个公共点 要判定直线在平面内，只要知道直线上有两点在这平面内；要判定直线和平面平行，只要知道直线和平面没有公共点；要判定直线和平面相交，只要知道直线和平面有一个且仪有一个公共点。但是，直线和平面相交要分直线与平 ·108◆ ==========第121页========== 面垂直和直线与平面斜交来讨论，就要根据直线与平面的交角来判定，如果直线与平面的交角是锐角，那末这直线和平面是斜交的；如果直线与平面内所有的直线都成直角，也就是直线与平面的交角是直角，那末这直线和平面垂直.要判定直线和平面垂直，只要知道这直线与平面内两相交直线都垂直就可以了 要确定直线和平面平行的位置关系，只要知道直线与平面的距离、直线在平面内可以看成它们之间的距离等于 废. 4。平面与平面的位置关系 (1)重合一两平面有不在一直线上的三个公共点； (2)平行一两平面没有公共点； (3)相交一一两平面相交于一直线 要判定两平面重合，只要知道两平面有不在一直线上的三个公共点；要判定两平面平行，只要知道两平面没有公共点；要判定两平面相交，只要知道它们的公共点都在一直线上.但是，相交平面又得分垂直和不垂直两种情形来讨论，这就要根据两相交平面所成的二面角的大小来判定，如果两相交平面所成的是直二面角，那末这两平面互相垂直；如果两相交平面所成的是锐角二面角（二面角的平面角是锐角)，那末这两平面不垂直， 要确定两平行平面的位置关系，只要知道两平行平面间的距离。两平面重合可以看成它们之间的距离等于零 5.几条重要的性质 (1)空间三直线平行定理：“直线aH直线b,直线b直线c:那末直线α1直线c”.这称为平行线的传递性 (2)直线平行于平面的性质定理：“直线a平行于平面M;那末过直线a作与平面M相交的平面W,则平面M ·109 ==========第122页========== 和N的交线与直线a平行”， (3)直线垂直于平面的牲质定理：“直线aL平面M;那末直线a与平面M内的一切直线都成直角”， (4)三垂线定理：它的原定理和逆定理（§1·16）不仪是刻划三条垂线间的关系，而且还可以利用它们来研究两条异面直线间的位置关系 (5)平面和平面垂直的性质定理及其推论（§1·24），对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直都有应用 (6)三面角的性质定理和多面角的性质定理（§1·27）是第二章研究多面体和正多面体的基础知识，因为多面体的顶点都呈现一个多面角 (7)三面角的全等和对称：如果两个三面角具有下列条件之一，而且它们的顺序相同则全等，如果顺序相反则对称。 (主)两个面角和它们所夹的二面角对应相等；(i)两个二面角和它们所夹的面角对应相等；()三个面角对应相等；(v)三个二面角对应相等； 如果两个三面角全等或对称，那么它们的对应面角，对应二面角都相等. 6.轨迹 (①)与线段两端点等距离点的轨迹，是线段的垂直平分面.(2)与两相交平面等距离点的轨迹，是两相交平面的角平分面（两个互相正交的平面）. 7.作图和计算 (①)在平面内表示平面图形的绘图方法. (2)简易的空间作图问题. (3)有关点与点、点与直线、平行直线间、直线与平面(平行的)、平行平面间的距离的计算等 01100 ==========第123页========== 复习题一A 1.试问下列叙述是否正确？ (①)在两个平面内的直线就是异面直线； (2)过直线上一点，只可作一条直线，与这条直线垂直； (3)平行于一个平面的任何直线，它们之间都是互相平行的； (4)分别垂直于两个相交平面的两条直线，它们一定相交； (5)与两个相交平面分别相交的两个平面，也是相交平面. 2.已知立方体的棱长等于a,求： (①)B1C1与DD1间的距离和交角； (2)AB1与CD1间的距离和交角； (3)B1C1与CD1间的距离和交角； (4)BC与B1D间的距离和交角. 3.如果平面M和直线a都平行于直线b,那 (第2题) 么平面M和直线a的位置关系怎样？ 4.线段AB平行平面M,自点A作AC垂直 平面M,BD是垂直AB于B的直线.设 AB=a,求AC与DB间的最短距离. 5.已知线段AB=&,它的两端与已知平面的 (第4题) 距离分别等于m、(m>n),求AB与已知平面的交角（分两种情况考虑). 6.求证：平行于两条异面直线的平面，与这两条异面直线的公垂线垂直. [提示：a!平面M,bH平面M,AB是异面直线a和b的公垂线，点O为AB与平面的交点.在平面M内自点O作OA1‖a,OB1b,证明AB⊥0A1,AB⊥OB.] (第6题) (第7题) ◆111 ==========第124页========== 7.与已知平面有已知距离的点的轨迹，是平行于已知平面且等于已知距离的两个平面 [提示：设如图，已知平面M,又平面P和平面Q都平行于平面M, 且都与平面M有已知距离d.] (I)证明轨迹的完备性就是证明与平面M有已知距离d的点都 在平面P和上. (2)证明轨迹的纯粹性就是证明平面P和？上的任一点都与平 面M的距离等于d 8,平面M内的三角形ABC三边长 分别等于6、8、10，V为平面外 一点，已知VA=VB=C=7,求 B 点V到平面M的距离。 [提示：已知VA=VB=C,设VOL (第8题) 平面M,那么OA=OB=OC,因此知点O为△ABC外接圆的圆心. 因△ABC的三边是6、8、10，所以它是直角三角形，由此得知点0必 定在斜边BC的中点上.] 9.平行四边形ABCD的顶点A、D在平面M内，顶点B、C在平 面M外.已知AD=10cm,AB=15cm,AC、BD在平面M内的射影分别等于13.5cm和10.5cm,求AC、BD的长.[提示：应用平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和的性质.] 10.在三面角7一ABC中，∠BVC=90°，∠AVB=∠AVC=60°， 求VA与平面BC的交角. [提示：设VA=a,求出D,再求0.由cos∠0pA=T0 VA求出 ∠0VA.] B (第10题) (第11题) 11.已知直线a和直线b是异面直线，直线c和a平行而不和b相 交，求证c和b是异面直线.[提示：应用反证法.] a112◆ ==========第125页========== 12.过直线外一点而与这直线垂直（不一定相交）的直线，都在过这 点而垂直于这直线的平面内 13.过平面内一个已知点，在这乎面内求作一条直线，使它与这平面 的一条已知斜线垂直， 14.一条直线如果平行于一个平面，那么这平面的任何垂线都与这 直线垂直 15.过一个已知点求作一条直线，使它与两条已知异面直线都垂直 (不一定相交) 6.过已知平面外一个已知点，求作到这平面内一点的一条线段，使 它等于定长，并且与另一个已知平面平行. 17.过一个已知点求作一个平面，使它垂直于 两个已知平面（这两个已知平面有两种位置关系，即相交或平行). *18.正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长等于4， 求A1C1、B1C间的距离. (第18题) 略解：因A1C1平行平面AB1C,所以A1C1上的任何点到这个平面 的距离就是A1C1、B1C两异面直线的距离，因为∠O1B1C=∠01B1A, 所以点O1到这个平面所引的垂线一定在∠AB1C的角平分线B1O 上.设O1H⊥平面AB1C,因为O1H.0B1=O01O1B1 、0,a=000a.] 0B1 复习题一B 1.已知平面M内的线段AB=12cm,在点A和B作平面1的垂线AC=9cm、BD=4cm,求这两条垂线的端点(CD)间的距离 [提示：本题有两解.] 2.在平面M内的两点向平面的同侧作平面的垂线，它们的长分别 是a和b,连结这两条垂线端点的线段被点P分成m:n.求分 点P离开平面M的距离. 3.在二面角的一个面上取两个点使它们到另一个面的距离分别为5cm和8em,第二个点到二面角的棱的距离等于l6cm.求第 ◆113· ==========第126页========== 一个点到二面角棱的距离. 4.一个四面角的两双相对的面角分别相等，则两双相对的二面角也分别相等。 5,三面角的三个二面角的平分面，相交于过顶点的同一条直线。 [提示：设三面角V一ABC,先作二面角VA、VB 的平分面相交于VO,然后证明VO上的点在二面 角VC的平分面上.] (第5题) 6,如果一个三面角的两个二面角相等，则它们所对的两个面角也相等。 7.如果一个三面角的三个二面角相等，则三个面角也相等 8.如果一个三面角的两个面角不等，则较大的面角所对的二面角 也较大 [提示：用反证法：根据1.27节例2.了 9.直三面角被一个平面所截.求证截面三角形的垂心是这三面角的顶点在截面内的射影， 10.求离三面角的三条棱等距离的点的轨迹 [提示：经过三面角的顶点作各面角的平分线，过每一个面角的平分线作平面垂直这面角所在的平面，求证这样的三个平面相交于过顶点的一条直线.] 11.在三面角V-ABC中过顶点V在三面角内引任意直线VD.求 证∠DVB+∠DVC<∠AVB+∠AVC, 第一章测验题(希望在120分钟内完成) 1.如果一条斜线的射影的长等于4，又斜线和平面所成的角为(1)45°；（②）60°，求斜线的长， D 2.设如图.AB、AC和AD是三条互相垂 直的直线，线段AR在这三条直线上的 射影分别为a,b,c.求线段AR的长. 3.两个平行平面间的距离等于2米，一条直线和它们相交成60°的角.求这直线 {第2题) ●1140 ==========第127页========== 夹在两个平面间的线段的长 4.把一个已知点关于一个二面角的两个面的两个对称点连结起来，如果这条连线和二面角的棱相交，求这个二面角的大小， 5.在平面M内的平行四边形ABCD,它的两条对角线相交于O, 如果G是平面M外的一点，并且AG=CG,BG=DG,则GO⊥ 平面M. 6.直三面角被一个平面所截，求证截面三角形是一个锐角三角形.7,在一个已知平面内求和不在这个平面内的一个已知三角形的三 个顶点等距离的点 8.已知平面M,A、B是平面M同旁的两个点，今在平面M内求 一点￠，使Ax十cB的和为最小. [提示：先求得点A关于平面M的对称点A1再连结A1B,A1B交 平面M于c,点x即为所求.] ◆115· ==========第128页========== 2 多面体 棱柱、棱锥和棱台 §21多面体 我们在日常生活中所看到的课桌、文具盒、箱子、书本、矿石的结晶体等等，它们的外表大都是由几个平面围成的，由几个平面围成的封闭立体称为多面体.图2·1（①）是由 六个平面围成的多面体，称为六面体；图2·1(2)是由四个平面围成的多面体，称为四面体；但图2·1中的(3)、（4)，因为它们的表面不都是平面，所以都不是多面体 (1) (2) (3) (4) 图21 多面体中相邻两平面的相交线段称为多面体的棱.如 图2·1(1)中的AB、BC、AE、CG、EF等，都是六面体的 棱.相交于同一点的几个平面组成一个多面角，各多面角 的顶点称为多面体的顶点.如图21中的A、B、C、D、E 等都是顶点.多面体的每一个面的图形都是多边形.如图2·1(1)的每个面的图形是四边形，(2)是三角形.连结不在同一个平面内的两个顶点的线段称为多面体的对角线.图 ◆1160 ==========第129页========== 2·2(1)中的AG、BH、C、FD都是.但图2·2(2)的多面 体中就找不到对角线. 如果多面体的每个面上的图形都是凸多边形，称这样的多面体为凸多面体.本书只研究凸多面体，以后讲到的多面 (1) 体都是指凸多面体， 图2.2 多面体通常以它的面数来命名。如四面体、五面体、六面体等等 一个平面与多面体相交，所截得的多边形称为多面体的截面。 §22棱 柱 在一个多面体中，如果有两个面互相平行，而其余每相邻的两个面的交线互相平行，这样的多面体称为棱柱（图2·3）. 棱柱的表示法，可以记作棱柱 ABCDE--·A1B1C1D1E1,也可以用它的一 条对角线的两个端点上的字母来表示，如 记作棱柱AD1或棱柱O1等， 图·23 棱柱中互相平行的两个面称为慢柱的底面，其余各个面称为棱柱的侧面.侧面与侧面的公共棱称为接柱的侧棱。两个底面间的距离称为棱柱的高。读者可以观察图2·3的棱柱，哪两个面是它的底面，哪些面是它的侧面，哪些棱是侧棱等等 由于夹在两个平行平面间的平行线段的长相等（§1.19定理2的推论)，因此可知棱柱的侧棱都是相等的.又因侧棱都是平行的，就容易推知棱柱的侧面都是平行四边形 ●117· ==========第130页========== 可以证明，棱柱的两个底面是全等的多边形 证] 因为棱柱的侧面都是平行四边形（图24),则： AB=A1B1,BC=B1C1, 又 ABHA1B1,BC‖BC1,3 所以 ∠ABC=∠A1B1C1, /BCD=∠B1O1D1,…, 图24 从而多边形ABCDE≌多边形A1B1C1D1E1. 如果以两个平行的平面来截一个棱柱，且都与棱柱的所有侧棱相交，则它们的截面是全等的多边形。如图2·4 中的P和？. 如果以一个垂直于侧棱的平面来截棱柱，所截得的图形称为棱柱的直截面 棱柱有下面的一些性质： (1)侧棱相等且平行： (2)侧面都是平行四边形；(③)两底面是全等的多边形， 侧棱和底面垂直的棱柱称为直棱柱，侧棱和底面斜交的棱柱称为斜棱柱.·如图.2·5中的(1)是斜棱柱，（②）、(3)都是直棱柱，直棱柱的侧面图形都是矩形，侧棱长等于它的高.如果直棱柱的底面是正多边形，这样的直棱柱称为正楼柱。如图：2·5中的(3)称为正五楼柱 (1) (2) (3) 图25 ·1189 ==========第131页========== 棱柱通常以它的底面的边数来命名，如三棱柱、四棱柱、五棱柱等等 不相邻两侧楼所决定的截面称为棱柱的对角面。如图 26中的截面E1ECC1及截面B1BEE1都是对角面，棱 柱的对角面都是平行四边形。 图2.6 图2.7 为了更直观地了解棱柱的性质，读者可按图2·7照样画一个剪下来，再以图中虚线折起来粘扰，做一个棱柱的模型.照下图做成的是一个正五棱柱。希望读者根锯斜棱柱的性质设计一个斜棱柱的模型例1 求证棱柱被平行于侧棱的平面所截得的截面是平行四边形. [已知] 在棱柱ABCDE-一A1B1C1DE1中，平面MI‖AA1,且 截棱柱所得截面为PQRS(图2·8). [求证] PQRS是平行四边形. [证] 由棱柱的性质可知： 平面AC‖平面AC1. 但这两平面被平面M所截，截得的交线 为PQ和RS. 图28 由平面和平面平行的性质定理可知PQ‖RS. 因为AA1【平面M,由直线和平面平行的性质定理 可知 AA1‖®R, ·119· ==========第132页========== 同理 AA:PS. QR I PS. PQRS是平行四边形. 例2 已知正六棱柱的侧面都是正方形，底面正六边形的每边长是a(图29).求这棱柱各对角面的面积 [解] 连结AC、AD 在正六边形ABCD亚F中，已知 AB=BC=a, 而 ∠AB0=120°， 图29 则 ACx√AB2+B09-2AB·B@.c0s120° -√02+a2-2aa()=3a, 而AD为边长等于a的正六边形ABODEF的外接圆直径， ..AD=2a. 因为AA1CC是棱柱的对角面，所以AA1C1O是平行 四边形； .·AAL平面A1C1,.AA1LAC1, `.AA1C1C是矩形。 于是AAC,0的面积=AA1A0=d√3a=√ga2, 同理，AA1D1D是矩形， .∴.AA1DD的面积=AA1AD=a2a=2a2易见，这棱柱的其余各个对角面的面积都分别等于这两个对角面的面积. :答：这棱柱的对角面的面积分别为/3a和2a2. 例8 底面是菱形的直棱柱，对角线的长是9cm和15cm,高是5cm,求它的底面的一边的长[解] 在直棱柱ABCD一A1BCD1中，底面ABOD和 ·120● ==========第133页========== A1B1C1D1为菱形.连结直棱柱的对角线A1C和DB,则 由已知条件有A1C=15cm,D1B-=9cm, 连结AO、BD. D .·AA1⊥底面ABCD, .'AA:AC, '.·AC=/A1C9-AA经 分 =/15-5=10√/2， 图2.10 同理BD=√D1B2-DD序=√9酽-5=2√14. 因为AO、BD为底面菱形ABCD的对角线，设它们的 交点为O.则： 4A0=7A0-号×10Wz-5W2, B0-号BD×2g=V. 且因AC⊥BD, .∴.AB=√A0+B0=W(5W2)?+(/14)=8. 答：底面的边长为8om. 习题 1.一个多面体的顶点数和多面角数有什么关系？棱数和各个面边 22 数的和有什么关系？ 2。在一个多面体中，同一顶点的各个面的面角的大小有什么关系？ 3.举出几个日常生活中所见的多面体的实例. 4.正四棱柱的四条对角线相等吗？它的四个侧面全等吗？ 5,斜棱柱、直棱柱和正棱柱，这三者之间有哪些相同之处和不同之处？ ,6.四棱柱、五棱柱和m棱柱各有多少个对角面？[提示：考虑它的底面多边形有多少条对角线。] ,7、从四棱柱、五棱柱和”棱柱的某一顶点出发，各能引几条对角线？四棱柱、五棱柱和”棱柱各有几条对角线？ 8.求证：正》棱柱每相邻两个侧面之间的二面角等于 (n-2)×180° 0121· ==========第134页========== [提示：底面正多边形的内角即是每相邻两个侧面之间的二面角的平面角.] 9,正四棱柱的一个侧面的面积为8，求它的对角面的面积 10.设斜三棱柱的相邻侧面组成的两个二面角分别等于30°和95°， 求第三个二面角的大小[提示：作出斜三棱柱的直截面。] 11.已知正四棱柱的底面边长为&，高为，求它的对 角线的长和对角面的面积. 12,在直三棱柱中，过底面一边，作一个与底面成45°的二面角且和这边所对的棱相交的平面，已知这 个棱柱的底面积是Q,求所作截面的面积. [提示：参考§1·25例2，] (第12题) §23平行六面体 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.侧棱和底面斜交的称斜平行六面体，侧棱和底面垂直的称直平行六面体， 图2·11(1)是斜平行六面体；图2·11(2)是直平行六面体. 1) (2) (3) (4) 图2.11 底面是矩形的直平行六面体称为长方体.如图2·11(3),它的六个面都是矩形。如果长方体的底面和侧面都是正方形，那末这种长方体就称为正方体（也称为立方体)，如图2·11(4) 容易证得，平行六面体有下面的性质： (1)六个面都是平行四边形； ·122" ==========第135页========== (2)相对的两个面互相平行，并且全等. 读者可用硬纸板按图2·12的样子画好剪下，再依虚线折起粘拢，做成一个直平行六面体和一个斜平行六面体的模型，然后可直观地考察它们的一些性质 图2.12 例1 长方体的任意一条对角线的平方，等于它的三度的平方的和 [已知] 长方体ABCD一A1B1O1D1中，A1C是它的任意一条 对角线，A1C=l,面长方体的三度的长分别为a,b,c. [求证] 2=a+b2+G D [证] 连结AO.因为AB⊥BC,AD+BO, .AO2=AB2+BC =AB2+AD9、: AA1⊥平面ABCD, ∴。AA1⊥AC,' 图2.13 .·.A1C9=A1A2+A02=A1A2+AB+AD2 即 2≠2+b2+02 例2 已知点P、R、R是长方体A1C的棱A1B1、B1C1和DD1 上的点，求过P、Q、R三点所作截面与长方体A1O所截的 截面图形 [解] 今点P、Q、R不在一直线上， 可以确定一个平面，但这平面与长方体各相关平面的截线，就必须在截线上找到两点，才能确定这条截线的位置.要达到上述目的，只能 ☒2.14 把已经确定的截线延长，如图2·14中把PQ向两方延长， 使与D1A1相交于O1,与D1C1相交于O2,这样延长PQ线 段，实际就是扩大平面PQR为平面O1O2R.从而可知截面 •123· ==========第136页========== PQR和平面A1D的截线可由OR确定，又O1R交AA1 于T,则TP就是截面PQR与平面A1B的截线.同理由 O2R确定截线RS和SQ.最后得到平面PQR截长方体 A1O的截面为五边形PQSRT. 〔注意〕 求作某一平面与多面体的截面图形时，可先延长已经确定的截线，使它与多面体中相关平面相交，并在这个平面与截面的交线上有两点已知，这样就可确定它们的截线.依照这个画图方法，逐步把所要求的截面图形画出来。象本例这种画截面图形的方法，一般称为截痕法例8 直平行六面体各条棱之长都等于，底面四边形的一个角为60°，求这直平行六面体各对角线之长，[解] ABCD一A1B1CD1为直平行六面 体，因此对角面是矩形，于是同一个对角 面内的两条对角线之长相等，即AC1= A1C,BD1=B1D(图2·15). 既然此直平行六面体的棱长都等于 图215 ,故而它的两个底面是菱形，各个侧面是正方形 在底面菱形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=120°.由 余弦定理： A0P=AB+BC-2AB·B0.C08120°， .∴.A02=2a-2a2c0s120°=3a2,因此 A0=√3a. 在直角三角形A1AC中， 410=√/A41+A0=√/a2+3a=2a.同理，可以求出 BD=BB+BD=2=2a. 答：这平行六面体对角线的长是： AC=AC1=2a;BD1=B1D=V2a. ·124· ==========第137页========== 例4 求证：如果平行六面体的两个对角面都垂直于底面，那么这个平行六面体是直平行六面体， [已知] 平行六面体 ABCD-A1BC1D 中，对角面A1ACO1⊥底面ABCD,对角 面B1BDD1⊥底面ABCD [求证] 平行六面体 图2.16 ABCD-A1BCD 是直平行六面体 分析 欲证明平行六面体ABOD一A1B1C1D1是直平行六面 体，只要证明它的侧棱垂直于底面，例如A1A上底面 ABCD. 既然两对角面都垂直于底面，根据§1·24平面和平面 垂直的性质定理.2可知，它们的交线QQL底面ABCD 于是，根据“两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直这个平面”只要证明A1A‖00 要证明两条直线平行，可以应用直线和平面平行的性 质定理，证明A1A∥平面B1BDD1,而要证明直线和平面 平行，只要证明它平行于平面内一条直线即可.这是显见 的，因为A1A{BB、由此可以证明结论成立 证明由读者自行完成. 习题 1,回答下列问题： 23 (1)长方体是不是直四棱柱？是不是正四棱柱？为什么？(②)正四棱柱是不是正方体？为什么？ 2.求证：过平行六面体一条棱的截面是平行四边形 3.直平行六面体底面两边的长分别等于2cm、5cm,底面两短边间的距离为4cm,侧棱长2V2cm,求这平行六面体各对角线长. 4.直平行六面体底面两边的长分别等于3cm和4cm,夹角为60°，侧棱的长为底面两边长的比例中项，.求这直平行六面体各 ·.25· ==========第138页========== 对角线的长 5.四棱柱的对角线相交于一点，那么这个四棱柱是平行六面体，[提示：证明两个底面都是平行四边形.] 6.平行六面体的一个面是有一个锐角为60°的菱形，侧棱和这个 面的交角为60°，已知一个对角面AAC1C垂直这个面，求证另 一个对角面BB1D1D与对角面AA1C1C面积的比为23. [提示：自点A1作A丑L底面，则垂足丑在底面对角线AC上。根 据三垂线定理知BD⊥AA1.从而BD⊥BB1,亦即对角面DD1B1B 为矩形，其面积为BB1·BD.而对角面AAC1C的面积等于AA1· A1C1sin60°.] (第6题) (第7题) T,如图正方体AC1,点P、?、R分别是棱AB、BC和AD1的中点. 求作P?R平面截正方体的截面图形 8。求证：如果一个平行六面体的两个对角面都是矩形，那么这个:·:平行六面体是一个直平行六面体 9.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，它的每条棱长是4，E1、F1 分别是B1C1和C1D:的中点 (1)求证B、1、F、D在同一个平面内； (②)求截面B11D的面积. [提示：连结B1D1,证明形1HBD.] D (第9题) (第10题) 10.平行六面体的底ABCD是菱形，侧棱AA1与和它相交的底边 成相等的角，求证AA1所对的对角面BB1D1D为矩形，并且过 AA1的对角面AA1C1C是和底面垂直的， ·126· ==========第139页========== [提示：自点A1向底面ABCD作垂线A1丑，则根据§1·16例2可 知：点H必在直线AC上，于是A1H在平面AA1CC内，即知对角面 AA1C1O和底面垂直.据三垂线定理可知BD⊥AA1,而AA1背BB1, 故而BD⊥BB1.] 11.求证：长方体的一条对角线与过它的-一个 端点的三条棱所成的三个角的余弦平方和，等于对角线与过一个端点的三个平面所成的三个交角的正弦平方和 (第11题) [提示：这些角的三角函数值可由长方体边之比来表示，证明这两个和的值都等于1.] §24棱 锥 一个多面体有一个面是多边形，其余各个面是共有一个顶点的三角形，这种多面体称为楼锥， 如图中的多边形ABODE是棱锥的底面，其余的各个 面是棱锥的侧面。侧面上会集于公共点的棱称侧棱，图中 VA、VB、…等都是.侧棱的公共点称为棱锥的顶点，如图 中的点V.从顶点到底面的距离，称为棱锥的高，如图中的 VH(VHL平面AC). ·不相邻的两条侧棱所决定的平面称为棱锥的对角面. 如图2：1T中的平面VAC、VBE等.很 明显，棱锥的对角面都是三角形 棱锥可以记作“棱锥V一ABCD?, 也可以记作“棱锥V”(即取顶点的字母表 示) 棱锥通常以它底面的边数来命名，如 图2.17 底面是三角形的棱锥称三棱锥，底面是四边形的棱锥称四棱锥，等等。 如果棱锥的底面是一个正多边形，并且从顶点到底面 ·127• ==========第140页========== 的垂线足正好是底面正多边形的中心，这个棱锥称为正棱 锥.如图2·18中棱锥V一ABCDEF,VO1平面AD, 点O是正多边形ABCDEF的中心，所以它是一个正六棱 锥. 正棱锥的侧棱(VA、VB、…等)在它 底面上的射影(OA、OB、…等)都是正多边 形的半径，所以是相等的；由此可推知正棱锥的侧棱都相等。也就是 .T VA=VB-VC-...-VF 图218 ..等腰三角形VAB≌△VBC≌…≌△VFA 这些等腰三角形的底边上的高（例如VM)称为正棱锥的 斜高.每一个侧面的斜高都是相等的 正棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影，这三线所组成的三角形都是全等的直角三角形.所以，正棱锥侧面和底面所成的二面角都相等 正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的射影，这三线所组成的三角形也都是全等的直角三角形。所以，正棱锥的侧棱和底面的交角都相等. 〔注意) 在解正棱锥的问题时，必须灵活运用图2·18中的四个 直角三角形（即△V0、△产MO、△VAM和△OAM). 在这四个直角三角形中，它们分别含有侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底画内的射影以及正多边形的边长等六个元素中的三个，如果知道了这六个元素中的两个，便可以应用这些直角三角形求出另外的一个、在以后计算它的侧面积或体积时，这一方法非常重要 下面的两个定理，是平行于棱锥底面的截面的性质定理。 定理1 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：(①)棱锥的侧棱和高，被这平面分成比例线段. ·128· ==========第141页========== (2)所得的截面是和底面相似的多边形 (3)截面面积与底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离的平方比. [已知] 棱锥V一ABODE中，平面P 平行这棱锥的底面，所截得的多边 图219 形是A1B1C1DE1(图2·19).棱锥的高VO与截面的交点 是点O1. [求证] (①)VO VAL VB: VO VA VB (2)多边形A1BC1D1E1∽多边形ABCDE, (3)·多边形A1B1C1DE1的面积一VO1 多边形ABCD亚的面积=O产· [证](1)在△VAB中，因为平面P‖平面AD,根据平面 平行性质定理，所以AB1∥AB, A生=VB1 VA 同理，在△VBC中，可证得 VBtVCr VBVO VA红=V03 VAVO・ 01.=VA-VB=…=VE VO VA VB VE· (2)在多边形A1B1C1DE1和多边形ABCDE中，已 证得： A1B1‖AB,BC1‖BC,…. .∠E1A1B1=∠EAB,∠A1BC1=∠ABC,, 又因△VA1B1∽△AB,△VBC1∽△VBC,", ·129· ==========第142页========== AB:BC1C.DD:E EAAB BO CD DE·EA· 至此证得了两多边形的对应角相等，对应边成比例， ∴.多边形A1BCD1E1∽多边形ABODE (3)因为两相似多边形面积之比等于它们的对应边平方比，所以 S△480DBL=4,B贤 SAABCDE AB 但 A1B?VA经VO ABVAYO S△4 BC.DEL=VO SAABODE V0严. 定理2 如果两个等高的棱锥，分别被离顶点等远的平行于底面的平面所截，那末这两个截面面积的比等于它们底面面积的比， [已知] 棱锥V和V1的高都是b,底 面积分别是S和S1,同被平行于 它们底面M的一个平面N所截， 顶点到截面的距离是，所得截 :图220 面多边形面积分别是P和P1(图2·20). [求证] P S P1S [证] 因平面N平行于平面M,根据上面的定理1， 卫3 ，又P=隆 S.k 即 P S 从上述证明中可以知道，如果两个等高的棱锥的底面积相等，那么它们与底面平行且与顶点等距的截面面积也相等、 为了便于直观理解，请读者制作一些棱锥的模型。图 ￥130+ ==========第143页========== 2·21给出一种正五棱锥的制作图，读者可参考这图画到硬纸板上，剪下粘成 图2.21 图222 例1 棱锥的高是飞，有一个平行于底面的截面，截面面积为 底面面积的，求顶点到这截面的距离（图2-22）. [解] 不妨以五棱锥为例..在棱锥V一ABCD觅中，截面 A1BC1D1E1平行底面，：设顶点V到截面A1BC1DE1的 距离VO1为c,截面多边形的面积为P,底面多边形的面积 为8.由平行于棱锥底面的截面的性质定理1，苓=0，я0-h, P=故， 答：顶点到截面的距离等于hN√元 例2 已知点P、Q、R分别在四棱锥V一ABCD的棱AB、 VB和AD上，求平面PQR截棱锥 V一ABOD的截面图形 [解] 已知点P、Q、R分别在棱锥 V一ABCD的棱AB、VB和AD 上，我们应用截痕法来求它的截面 0 图形，连结QP并引长交VA的延 长线于O2,在平面VDA上连结 图223 OR并延长交VD于T,则RT就是截面与平面VDA的 交线.再连结PR并延长使交CD的延长线于O,则O2T ·131 ==========第144页========== 都在平面VDO上，因此连结O,T并延长交VC于S,TS 就是截面与平面VDC的交线，再连结SQ,则五边形 PQSTR就是过点P、Q、R的平面截棱锥V一ABCD所成 的截面图形 例3 棱锥V-AB0的侧棱长都等于13cm,底面为一等腰 三角形ABC;在底面三角形中，底边 BO=6cm,BC上的高AD=9om,求这三棱锥的高（图2·24).[解] 自顶点V作VO垂直于棱锥的底 面.因为VA=VB=VC,所以侧棱在 底面内的射影也相等，'因此AO=BO= 图2.24 CO,从而知垂足Q是底面三角形ABC的外接圆圆心， 、在△ABO中，AB=AC,BC=6,AD=9,·AD⊥BC, 六4B=40=VAD+(2T=V+9-m 由公式R-可求得R-8×X4×3×9 2=5,也 就是A0=B0=C0=5.于是，在△AV0中， V0=√/7A2-A0=/132-5=12cm. 答：这三棱锥的高等于120m. 例4 三棱锥V一ABC的底面是边长为a的正三角形，它的 一条侧棱VA垂直底面，另两条侧棱VB、 VC与底面的交角都等于B,求侧面VBC :和底面所成的二面角（图2·25）。 [解]·在△ABC内作AD上BC,连结VD. :由三垂线定理可知，VD⊥BC.所以 ∠VDA为侧面VBC和底面ABO所成的 图2.25 二面角的平面角.而VA垂直于底面，所以VA⊥AB,故 而VB和底面的交角即为∠VBA.·所以∠VBA=B.在 ·132t ==========第145页========== 直角三角形VAB中，'A=AB.tgB=a电B.而AD为 正三角形ABC的中线，所以AD=《之。，设∠YDA= VA ,于是，在直角三角形7DA中，g=品，圆此 atgB2√3tgB tg o=av3 3 arc tg(2g) 答：侧面VBC和底面所成的二面角 为wg(2g 习题 1.回答下列问题： 2·4 (①)底面是正多边形的棱锥，是不是正棱锥？为什么？(②)所有的侧棱的长都相等的棱锥，是不是正棱锥？为什么？2。()棱锥的侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面内的射 影是底面多边形的外接圆的圆心。为什么？ [提示：考虑所有由侧棱、高和侧棱在底面内的射影这三线所组成的直角三角形之间的关系.] ·(②)棱锥的侧面和底面所成的二面角都相等，则顶点在底面内 的射影是底面多边形的内切圆的圆心.为什么？ [提示：考虑所有由斜高、高和斜高在底面内的射影这三线所组成的直角三角形之间的关系.] 3.一个三棱锥的每条棱的长都是4，求证它是正三棱锥，并求出它的高。 4.在一个三棱锥的六条棱中，五条棱的长都等于a,另一条棱长等于b(a≠b),这三棱锥是不是正三棱锥，为什么？ [提示：以长度为a的三条棱所在的平面作为底面，判别它的顶点到底面的垂线足是不是底面正三角形的中心.] 5·正三棱锥的底面正三角形的边长为a,侧棱长都等于b,求过它的侧棱和高所作截面的面积. [提示可先求出正三棱锥的离0，这里c0-号CD,] ·133• ==========第146页========== (第5题) (第6题) 6.如果正棱锥的底面边长是G,底面的半径是r,底面的边心距是d,斜高是1高是h,侧棱长是L,分别写出h、1和r;h、h1和；h1、?和a;r、d和a,每三者之间的关系式. [提示：研究四个直角三角形7OB,VOM,VMB和BOM.] T.已知正棱锥的底面多边形边长是a,底面多边形的边心距是d,并知棱锥的高是乃，求侧棱的长1， 8.已知正四棱锥底面正方形的边长为6cm,高为4cm,求它的侧棱和斜高. 9.已知正六棱锥的高为12cm,侧棱为13cm,求它的斜高和底面 六边形的边长 10,正四棱锥的所有棱长都等于a,求它的侧面和底面所成的二面角。 11.(1)一个楼锥的底面面积是S,经过这棱锥的高的中点，作一个 平行于底面的截面，这个截面的面积是多少？ (2)一个棱锥的高是h,要作-个与棱锥的底面平行，并且面积 为底面面积的一半的一个截面，这个截面离顶点的距离应该是多远？ 12,已知一棱锥的底面面积是80cm2,平行于底面的截面面积是45cm,底面和这个截面间的距离是6cm,求这个棱锥的高。 13.两个等高的棱锥被和底面平行并且和顶点有等距离的平面所截，如果一个棱锥的底面面积和截面面积分别为175cm2和49cm;另一个棱锥的底面面积为325cm,求另一个棱锥的截面的面积. 14.求证：正三棱锥的侧棱与它所对的底面的一边互相垂直. [提示：作出侧棱VA和高O确定的平面VAM,证明BC⊥平面 VAM,] ·1340 ==========第147页========== (第14题) (第15题) 15.求证：正四棱锥的一条侧棱垂直于底面内不和它相交的一条对 角线 [提示：证明BDL对角面VAC.门 16.求证：正棱锥的高和斜高所决定的平面，垂直于斜高所在的侧面 17.棱锥的底面为腰长等于10cm底边等于12cm的等腰三角形， 它的各个侧面和底面所成的二面角都是45°，求这棱锥的高. [提示：作棱锥的高0，.可以证明点O是△ABC的内心；作 OD LAB,证明70=OD.1 (第17题) (第18题) ·18.在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点分别在 棱锥的四条侧棱上，另外四个顶点在棱锥的底面内，如果棱锥底面的边长是4，棱锥的高是，求这正方体的棱长.解：如图所示，已知0=h,AB=4. 设正方体的棱长A1B1=￠，则 001=A1A2=A1B1=c.701=h-x. ·平面A1B1C1D1‖平面ABCD, 9i0D=心；.即之h-S4B0.DVO 积 a h. ·35· ==========第148页========== 解之，得 x=_ah ath. 答：这正方体的棱长为。] §25棱 台 一个棱锥如果被一个平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分称为棱台。如图2：26中的 截平面A1C1与底面A0之间的部分，这 两个平行的面称为棱台的底面；根据与棱 .：·维底面平行的截面性质定理1，可知棱台 的两个底面是相似的多边形.其余各面称为棱台的侧面，棱台的侧面都是梯形。夹 图2.26 在两底面间的棱称为棱台的侧棱。两个底面间的距离称为 楼台的嵩.图中的0O1垂直于两底面，OO1是这棱台的高， 楼台可记作ABODE-A1BC1DE1,也可记作棱台 AC1(对角的两个端点). 由正棱截得的棱台称为正楼台；·正棱台的两底是相似的正多边形，两个底面中心的连结线段垂直于底面，它的长等于正棱台的高. 因为棱台是由平行于棱锥的底面的截面所截而成的，所以有关棱台的一些性质，可由棱锥的性质推导而得。例如，正棱锥的侧棱长相等，因此正棱台的侧棱长也相等；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正棱台 D 的侧面是全等的等腰梯形，正棱台侧面梯形的高就是正楼台的斜高， 〔注意) 在解某些正棱台的问题时，要考虑侧 y 面等腰梯形以及斜高、侧棱与两个底面中 图2.27 心连线所组成的两个直角梯形的应用（图2·27中的梯形 。136.4 ==========第149页========== B1BCC1、O1OBB1、O1OEB).因为在这三个梯形中，包含 了高、斜高、侧棱、两个底面的边长、两个底面正多边形外接圆半径和内切圆半径等九个元素，每个梯形中分别具有着这九个元素中的四个，如果知道其中的三个，就可以应用勾股定理求出其余的一个 根据棱台的定义，画楼台的时候，必须将它的两个底面各对应边画成平行，并且延长各侧棱要能够相交于一点，如图2·28的(1).否刻，如图2·28（②）所画的图形所表示的便不是棱台（可以知道，仅当上下底面图形的对应边互相平行且成比例（但比值不等于1）时，才能保证各侧棱能相交于一点) 为了便于读者制作棱台模型，下面给出一个正五楼台的制作图（图229）. 图2.28 图2.29 例1 已知正三棱台的两个底面的边长分别是2cm和3cm,侧棱的长为3cm,求这个棱台的高和斜高 [解] 设两底面的中心分别为O1和O.连结 O10,O1A1,OA.取A1B1和AB的中点 D1和D,连结0D,OD,D1D'鲫Q0是 图230 棱合的高，D1D是棱合的斜高；并知OA1A和OODD 是两个直角梯形 在直角梯形OO1A1A所在的平面内，过点A1作 AE⊥0OA,既然上下底面的边长分别是.2om和3om,则 137· ==========第150页========== 0d-xg=是E, 0A=x3=.4B-0A-0ムー√3--Jv3. 在直角△AA1E中， A:B-VA-A-V8⑧-(y 78≈8.83 =N3≈2.94， .001=A1E≈2.94 义在直角梯形OODD1所在的平面内，过点D1作 D1F⊥OD,于是 0D=V 6X2=V③ 3 0D=3x3= 6 2 DF=0D-0,D,=Y3-3=3 236 在直角△DD1F中， DD1=√DF9+D1F-√DF+OO丽 ()+3 60≈2.95 备：这棱台的高≈2.04om,斜高≈2.5cm, 例2 正六棱台的土底面的边长为a,下底面的边长为2a,侧面与下底面所成的二面角为60°，求这棱台的高和截得这楼台的原棱锥的高。[解] 设截得这棱台的原楼锥为V一ABCDEF(图231). 4138· ==========第151页========== 自顶点V作VOL正六边形ABCDEF,则O即为正 六边形的中心，又VO交棱台的上底 面于O1,则O1就是上底面正六边形 A1B1C1D1E1F1的中心.过V作斜高 VM,交CD于M,交O1D1于M,连结 0M和O1M1,则∠VM0=60°，在直角 △VOM中，M0=a√3， 图231 .V0=a√8g60°=a√=3a.. 又在直角△VOM1中， M0=aW 2°，∠01MV=60, :V01=3坞60°=aYě3-g2 2 因此， 0,0=V0-V0,=3a-3a=3a 2 答：截这棱台的原棱锥的高等于3a,棱台的高等于3 2 例3 棱台的上下两个底面积分别等于q和 Q,求它的中截面（就是过高的中点而平 行于底面的截面)的面积.[解] 延长棱台各条侧棱相交于V,设点V: 到棱台上底面的距离VO1为：，棱台的高 O10为2h,中截面面积为M(图2·32) 既然棱台的上底面面积为q,下底面 图232 面积为Q,根据与棱锥底面平行截面的性质定理1，有 2 √Mx+五· √F+2h 依同理， M x十h· 把上两式相加，有： 139· ==========第152页========== √g+√-2+b=2, √M a+h 即须-5士，M-g+g+2v). 答：中裁面的面积是是(g+Q+2√)， 题 1.如果两个相似三角形的对应边互相平行，连结它们的对应顶点，习. 25 所围成的多面体是不是三棱台？为什么？ [提示：研究它们的对应顶点的连线是否相交于一点.] 2.如果正棱台的上下底面边长分别是a1和a,上下底面的外接圆半径分别是"1和"，上下底面边心距分别是d和d,斜高是M,高是h,侧棱长是，试分别写出： D (1)r1,Y,h和；(2)d,d,h1和h; (3)1,a,h和；(4)Y1,和a1; (5)",d和a的关系式. [提示：研究直角梯形OBB1O1、OMM1O1和 BMM1B1,直角三角形O1B1M1和OBM.] (第2题) 3.已知正六棱台的上下底面边长分别为ab(ab),侧棱和底面的交角为a,求这棱台的侧面积. [提示：自顶点A1作A1O垂直下底面，并在下底面内作OELAB, OFAD.易求得 0=2,01-号a0.d:0-40 tgaV2(a-b)tgo. 2 最后，可求得正棱台的斜高：在直角三角形A1OE中， AE-V40+0-abV1+2tg a.] 2 9.正三棱台侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a,全面积为S,求上底面的边长. 01620 ==========第175页========== [提示：如图所示，OO1为两底面中心连线，那么DD1为斜高， ∠DDB=60°；设上底面边长为x,则可求得O1D1(以x表示)、OD, 从而求得DH,DD1;既得斜高之表达式，即可表出全面积；由已知全 面积为8即可解出x,] (第9题) (第10题) 10.在正四棱台内有一个内接棱锥，它以棱台的上底面为底面，棱台 的下底面中心为顶点.已知棱台上下两个底面的边长分别为b、a(a>b),并且这棱台的侧面积与这一内接棱锥的侧面积相等，求这棱台的高 [略解：设此棱台的高是，那么内接楼锥的高也是h,并知这个内接四棱锥是一个正四棱锥。 在直角三角形O018中，棱锥的斜高O:=V+(). 在梯形O,0B中，棱台的斜高E码=√+(02. 题设棱台的侧面积等于这个内接棱锥的侧面积，所以棱台的一个侧面的面积等于棱锥的一个侧面的面积 을+폰-+(4 即 (2+2)=a+o[2+-a》21 小-v-V9*功远a-+2b 2(a+2b) 而a>b,要使h有意义必须2b2-a2>0,即√2b>4.所以，当bb),求 它的体积 6.对角线长9cm的正四棱台中，两个底面边长分别为5cm、7cm,求它的体积 Di 5cm C {提示：AH=合(40-AC),] D 7.棱台两底对应边的比等于5：2，求它的中截面分它的体积成怎样的比？ B 8.棱台的上下底面面积的比是1：4， (第6题) (I)求截得这个棱台的棱锥的顶点到这个棱舍的上下底面距离 的比； (②)求这个棱台的中截面把这个棱台分成的两部分的体积的比。 9.一个棱锥被平行于它的底面的平面分成体积相等的三部分，求这两个平面把棱锥的高分成三部分的比 [提示：先证明Vp-4o,:Vp-4,0,:V2-Ao=PH:PH:P.]:10:过棱锥的高的三等分点作平行于底面的平面，求棱锥被这两个 平行平面分成的三部分的体积之比 (第10题) (第11题) 11.在两个底面对应边的比是1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平面平行于这边的对棱，求这个平面截三楼台成两部分体积 188. ==========第201页========== 的比 12.正六棱台的两个底面的较长对角线之长分别等于a,b,(a>),侧棱长等于两底面外接圆直径之差，求它的体积. *§216拟柱体 拟柱体是多面体的一种，是由两个平行的平面做底，底面的图形是多边形，它的侧面图形是梯形或三角形，而且这些梯形或三角形的顶点都落在它的底上，拟柱体两底间的距离叫做高.通过高的中点面平行于底的截面叫做中截面. 设拟柱体的体积为V,高为丑，两底的面积为Q1、Q2, 中截面的面积为o,则拟柱体的体积公式 V-H(Q+0.+40). 这个公式证明如下： 设A1B1C1D1一A2B2C2D2是拟柱体，它的两个底面面 积是E1、Q2,高是H,中截面AoBoCoDo的面积为Qo.在中 截面内任意取一点P,将P和拟柱体各顶点连结起来，这 便把拟柱体分成若干个棱锥，拟柱体的体积就等于这些棱锥体积的和 这些棱锥可以分作两类，一类是以拟柱体的底面作底面，一类以拟柱体的侧面为底面（图2·79(2）). (1) (2) 图279 ‘。18g• ==========第202页========== 第一类有两个棱锥，它们的体积分别是： PAB0nw-专号-g, P一AB0gD,E3年=A6 在第二类棱锥中，可以先求出P一B1CC2B2的体积. 如在图2·79(2)，在平面PBC%内作PE⊥BC,并且在平 面B1C1C2B3内过点E作FHIBoCo. 然后，再在平面PFH内作PK LFH、FG上PE. 因为BCo⊥FH、BCo⊥PE,因此BCo⊥平面PFH因此，PK⊥BoCo,PK⊥FH,所以PK⊥平面 BC1CB2,PK就是棱锥P一B1C1C2B2的高. 同样，FGBoCo,FG1PE,所以FG⊥平面PBoCo, FG就等于拟柱体的高的一半. .pBCC,B,-PK.SnGcm3 PK.FH.BoCo3 PK.2EF.BoCo. 在△PEF中，PK·EF=FG·PE,于是 P-B10,0B,=F9.2PE-B,0 3 FG.4SAPBC .3 =耳，4SoPa· 6 间样可以证明： P-A,B,B4=日4SAP4B, 6⊙ .n n. 把第二类棱锥的体积相加，可得： 4.190,• ==========第203页========== 号(4pan+4的aua.+ 6 再把第一类的两个棱锥加在一起，就得出 품(2+2-+402)。 不难看出，棱柱和棱台都可以看作拟柱体，如果把棱锥的顶点看成是一个平面缩成的，这便也可把棱锥看成是一个拟柱体，·因此，拟柱体的求体积公式也适用于求棱柱、棱锥和棱台的体积.下面举例说明拟柱体的体积公式的应用， 例1 要筑一道土堤，下底面是长58m、宽4.6m的矩形，上底面是长50m、宽3.4m的矩形，高2.3m,问共需用土多少立方米？ [解] 这一土堤的儿何形状易证不是一个棱台（见§2.5，因上下底面对应边不成比例)，但可看作一个拟柱体；它的 中截面矩形的长=(58+50)-54(m),中截面的宽-号(4.8+34)=4〔m). 设上下两个底面及中截面的面积分别是、、o,则： e1=58×4.6=266.8(m2),·.a=50×3,4=170(m), 20=54×4=216(m2). 、·这拟柱体之体积 =言×2.3(206.8+170+4×210) =498.6(m3). 答：.筑此土堤共需用土498.6立方米 e1910 ==========第204页========== 例2 一个楔形（即一个底面是多边形，另一个底是一线段的拟柱体)的底面是矩形，它的尺寸如图2·80所示（单位cm),求它的体积 [解] 把这个楔形看作一个拟柱体，那么它的高等于60cm, 中槟面矩形的长=受（5+40) 95 -55 中截面矩形的宽-管(om.35 图2.80 那么，ˉ这个拟柱体的上下两个底面和中截面面积分别为： 1=0, Q2=55×35=1925(cm2), Q,-95×85-832 22-4 (om). 所以的体因-금x(125-+4x 392) =52500(cm)=52.5(dm3).答：这楔形的体积等于52.5dm3. 本题还可用如下方法来解： 解法2 过点B作平面平行于侧面ACF, 交侧面和底面于BG、BH和GH(图 2·81),易证多面体BGH一ACF是三棱 柱 在这三棱柱中，已知侧面CGHF的·图2.81 面积以及侧棱AB到平面CGHF的距离，由§2·13例3， 三棱柱BGH一ACF的体积 -40×35×60=42000(cm3). 2 192◆ ==========第205页========== B-一GDB丑是四棱锥，它的底面是矩形GDEH,它的 高是AB到平面CDEF的距离， .'.四棱锥B一GDEH的体积 60×35×1 3 2=10500(cm8). 楔形的体积V等于三棱柱ACF一BG丑与四棱锥 B一GDEH体积的和，则 V=42000(cm)+10500(cm8)=52500(cm3)=52.5(dm3). 匀题 1.一个砂堆，下底面是长为a、宽为b的矩形，上底面是长为a4、宽 216 为b1的矩形，高为h,求这堆砂的体积(a=6.8,b=5.2,a1= 3.6,b1-2.4,h=1.4,长度单位是m), 2.上下两底都是直角三角形、高为67.5cm的拟柱体，上底的直角边分别为20cm、50cm,下底的两直角边分别为30cm、75cm,求它的体积 3.验证拟柱体求体积公式也适用于棱柱，棱锥和棱台. 4.一个楔形，尺寸如图所示，求它的体积 (第4题) (第5题) 5.用不平行于棱柱底面的平面截一个棱柱，所得棱柱的一部分称 为截棱柱.今有一截三棱柱，其侧棱的长分别是1、、n,每两条侧棱间的距离都是4，求它的体积 提示：如以加，%两侧棱组成的面为底面，那么这个截三棱柱可看作是拟柱体.因三条侧棱间的距离都是a,所以边长为4的正三角形 的高就是这拟柱体的高（直截面P②R与底面垂直）.又，这拟柱体的 中载面是一梯形，它的两底分别等于中”、告”，这两底间的距2 离是] ·193· ==========第206页========== §217正多面体、欧拉公式 如果一个多面体的各个面的图形都是全等的正多边形，而各个多面角都是全等的正多面角，这种多面体称为正多面体 因为正多面角的所有面角相等，故而所有二面角也相等的；又因为正多面体各面的多边形都是全等的正多边形，因此它的所有的棱长都相等的 如图2.82(1)是一个正四面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的三面角，它有4个顶点，有6条棱 (1) (2) (3) 如图2·82(2)是一个 图282 正八面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的四面角，它有6个顶点，有12条棱 如图2·82(3)是一个正二十面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的正五面角，它有12个顶点，有80条棱 观察这三个正多面体，可见它们的每一个面都是正三角形。如果以正三角形一内角（即0）为面角，可以组成的多面角仅有三面角、四面角和五面角这三种，因为六个面角便0°×6=360°，已不符合多面角关于面角和的性质.因此，各面是正三角形的正多面体只有上述三种. 如图283是一个正六面体（又称正方体或立方体)，它的每一个面都是正方形，每一多面角都是全等的直三面角，它有8 图283 ·94· ==========第207页========== 个顶点，有12条棱.易见不存在有直四面角（因为90°×4=360),因此各面是正方形的正多面体只有这一种如图2·84是一个正十二面体，它的每一个面都是正五边形，每个多面角都是全等的三面角，它有20个顶点，有30条楼.正五边形的每一内角为108°，用108°为面角不可能组成四面角，因为108°×4=432°已超过了360°，因此各个面都是正五边形的正多面体只有这一种 此外，有没有以每个面都是正六边形 图284 (或者多于六边的正多边形)的正多面体？我们的回答是否定的.因为正六边形的每一内角已等于120°（如果%>6，则每一内角要大于120)，3个120°的和就等于360°，已不能组成一个三面角：如果>6的正多边形的内角作为面角就显然不能组成一个三面角了，因此作为正多面体的每个面上的图形，只能是正三角形、正方形和正五边形这三种.所以，正多面体仅有上面所述的五种 下面我们来研究凸多面体的顶点数V,棱数，面数 F之间有什么关系.不仿取一个四面体ABCD,把一个底 面BCD去掉后，并假定它的面和棱都是橡胶薄膜做成的， 因此可以把它变形为平面图形[图285(2)].这时， 四面体的顶点数V、棱数 E和余下的面数F1都没 1 2 (3) 4 有变动.因此，要研究V、 图285 E、F之间的关系，可参照平面图形进行研究V+F1一 的值. (①)如果去掉一条棱，例如BC,则减少一个面BCA, 同样去掉棱CD和DB时，也随着减少一个面CDA和面 DBA,由于顶点V未变，F1一D也未变，因此，V十F1一E ·195· ==========第208页========== 的关系不变[图2·85(3)]. (②)如果从剩下的树枝形(3)去掉一条CA,则减少一 个顶点C,同样，去掉棱DA随着减少一个顶点D,最后剩 下棱AB[图285(4)].因为树枝形的F1是O,V-E又 未变，所以V+F1一E的值仍未变，并且最后只剩下棱 AB,因此V十F1一E=1,加上最初去掉的一个面，则得 V+F-E=2. 如果对于任意凸多面体，应用上述方法，也能得到同样的结论.把它写成定理如下： 定理 凸多面体的顶点数V、棱数E、面数F,有下面的关系 V+F一E=2. 上述定理中的等式称为欧拉公式 现在，我们应用欧拉公式来证明正多面体仅有五种 [证] 设正多面体的顶点数、面数、棱数为V、F、E,每个面 的边数为m,每个多面角的棱数为n. 1.因为每个面有m条边，所以总共有mF条边，但每条棱由两条边合起来的，因此 mF=2五 (1) 2.因为每个多面角有肌条棱，所以总共有V条棱， 但每条棱为两个多面角公用，因此 nV.-2E. (2) 3。由④、②倒两式得F=2阳，了-2石，并代入欧拉2 公式 V+F-E=2, 则得 2E+2EーE=2, m 即 1+-1=1 nm2瓦 ·196: ==========第209页========== 因五是正整数，所以员+品>0，但m≥8，≥8，mm 并且都是正整数，下面来解这个不等式 当m=3时，得九=3,4,5.m=4时，得九=3. m=5时，得九=3. 今m不可能大于5。因此，我们得到(m,n)的值为 (3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3). 再从等式 +-= F-2h m 可求得)、V、F如下表： 正多面体 n E 正四面体 3 3 6 正六面体 3 12 : 正八面体 3 12 6 正十二面体 5 30 20 12 正二十面体 3 5 30 12 20 从上表可知正多面体有且仅有五种，并且它们的顶点数、面数和棱数也完全确定 .作图根据上面的叙述可知，可能存在的正多面体只有五种，而且，我们能够在空间中用平面把这五种正多面体 都作出来。例如，在平面M内作正方形，过这正方形的各 边分别作垂直于平面M的平面，这样的平面一共可以作出 四个；然后再作与平面M的距离等于正方形边长的平行平 面，这样六个平面就构成了一个正六面体 作出了正六面体，其余的四种正多面体随之可以作出.例如，在图2·86(1)中，作出正方体各个面内的对角线，多 •197· ==========第210页========== ·面体B1一ACD1即为正四面体.又如，在图2·86(2)中，连 接各个面上的正方形的中心，就可以作出正八面体。读者不难证明这些作法的正确性。 (1) (2) 图286 至于正十二面体和正二十面体的作图，由于需要比较繁琐的论证，这里将其省略了. 读者们可以按照图2·87的图形放大，画到较厚的纸板上剪下，再依虚线折起来，用胶水粘好，便成为五种正多面体的模型 正多面体的二面角由于每一个正多面体的所有二面角是全等的，所以只要计算出它的一个二面角即可.现在以正二十面体为例，来说明如何计算出它的二面角. A中 怒端 图2.87 图2.88 图288是正二十面体中相邻的二个平面APB和 ABQ.设这个正二十面体的棱长为a,取棱AB的中点M, 连结PM、QM,则PM⊥AB,QM⊥AB.所以∠PMQ是 二面角AB的平面角. ·198◆ ==========第211页========== 连结PQ,PQ是对角面正五边形PBQCD的对角线 平面几何中边长为a的正五边形的对角线长（万+2 .:自点M在乎面MPQ内作M丑⊥PQ,并设∠QMH=P, 则在直角三角形MHQ中， a(W/5+1) sin=HQ 4 MQ √15+√3≈0.934 a/3 6 ∴.p=696,..∠PMQ=13812 即正二十面体的二面角为138°12' 正多面体的体积棱长为的正六面体（即正方体）的体积为，至于正四面体、正八面体，可以根据棱锥求体积的公式分别求出它们的体积.下面以正十二面体为例，说明如何计算棱长为a的正十二面体的体积. 图289是一个正十二面体（图中仪仅作出了它相邻的两个平面)，自它的一 个面P的中心M,作这个平面P的垂 图2.89 线与二面角AB的分角面相交于点O.自点O作OM1垂 直于平面ABODE,自M在平面P内作MH⊥AB,在平 面ABCDE内连结M1H,那么M1H⊥AB. 连结OH,在直角三角形HMO及HM1O中， HO=HO,∠MH0=∠MH0, .△丑OM≌△HOM1, ..OM=OM1·及MH=MH, 即M1为正五边形ABCDE的中心.以同样的方法可以得 出自点O到正十二面体各个面内的垂线是相等的，而且垂 足都分别是各个面内正五边形的中心 这样，就可将这个正十二面体分割成十二个正五棱锥， 0.189· ==========第212页========== 它们的底是边长为a的正五边形，它们的高都相等，因此只 要计算出点O到一个面的距离OM,那么这个正十二面体 的体积就可以求出了。 在直角三角形OMH中，MH为边长为a的正五边形 的内切圆半径，利用平面几何知识不难求出；∠MHO为正 十二面体二面角的平面角的一半，可以作另一个五棱台，它 的上底边和侧棱的长为。，下底边长为√百+上。，则此棱 台的上底面与侧面的二面角就是正十二面体的二面角，于 是可求得∠MHM1=116°34.所以OM的长是可以计算 出来的。 例1 分别以正四面体的高和棱为一边作出两个正方形，求证这两个正方形面积的比为2：3.[证] 设正四面体ABCD的棱长为a,AO垂直平面BCD(图2·90). 在直角三角形ABO中， 40=aB=B0=√a2-() /3a 2a3 -Na/63 图290 以正四面体的高AO为一边的正方形面积为 3 以正四面体棱长为一边的正方形面积=a.所以这两个正方形面积的比为2：3. 例2 正八面体的棱长为，求它的两个相对平面间的距离.[解] 在正八面体中，△ACD及△BEF为 相对的两个平面（图2·91）. 在平面BCDE内，自对角线的交点O 图2.91 :·200· ==========第213页========== 作OM LOD,连结AM.由三垂线定理知AM ICD 因AOCD,AM⊥CD,所以平面ACD与平面AOM 互相垂直，AM为它们的交线.自点O在△AOM平面内 作OP上AM,那么OP垂直平面ACD,所以OP是点O到 平面ACD的距离，也就是两个相对平面AOD与BEF距 离的一半。 在直角△40M中，0N=受，AM=,所以 40-√a-0-√（Y-( =a2 2. 在△AOM中，OP·AM=A0.OM=2S△4oM, av2 a .OP=400M=22 AM av3 2 V2a av62√86 因此知这两个相对的平面的距离为“石 3 答：棱长为a的正八面体相对两个平面间的距离为√石 3 t. 1.求正四面体的二面角. 习题 217 2.·求正八面体的二面角. 3.两个棱长相等的正四面体，将它们的一个面重合，所得到的多面体为什么不是正多面体？ [提示：研究它的每一个多面角是不是都全等。] 4.求棱长为4的正八面体中相邻两个面的中心的距离。 [提示：先求出正八面体的二面角。]5,求棱长为a的正八面体对角线的长。 (第3题) '·201• ==========第214页========== 6.求立方体和以这个立方体各面的中心为顶点的正八面体的体积的比7,求棱长为.a的正八面体的体积 [提示：将正八面体分成两个体积相等的正四棱锥.] 8。内接于正八面体的立方体，它的各个顶点在 (第6题) 正八面体棱上；已知正八面体棱长为a,求这个立方体的棱长. ·(第8题) (第9题) 9.求证正四面体的二面角与正八面体的二面角之间，互为补角.[提示：本题可以通过分别求出正四面体和正八面体的两面角而得 到证明.也可以采用另一种证法：过正八面体ABCDEE的一顶点 A,作AG L BO,易见△ABC和△AGC共面，只须证明拼上去多面 体GACD是正四面体就可以了.] 10,已知凸多面体的各面都是四边形，试证V=F+2. 本章提要 本章主要是叙述棱柱、棱锥和棱台等的概念、性质以及度量它们的表面积和体积的计算公式：直观图的画法。 1。概念和分类 (1)棱柱的概念（§22）. 斜棱柱（侧棱不垂直底面）； 棱柱的分类 直棱柱（侧棱垂直底面）一正棱柱（底是正多边形的直棱柱)。 (2)棱锥的概念(S2:4). ·202◆ ==========第215页========== 斜棱锥； 棱锥的分类正棱锥(S2·4). (3)棱台的概念（§2·5）. 斜棱台； 棱台的分类正棱台（§2·5）. (4)正多面体的概念（§2·17）. 正四面体（各面都是全等的正三角形，各顶都是全等的正三面角)； 正八面体（各面都是全等的正三角形，各顶都是全等的正四面角)； 正多面体{正二十面体（各面都是全等的正三角形，各 顶都是全等的正五面角)；正六面体（就是正方体）； 正十二面体（各面都是全等的正五边形，各顶都是全等的正三面角) (⑤)凸多面体的分类 棱柱； 棱锥； 楼台； 凸多面体{正多面体； 拟柱体（§2·16）； 其他凸多面体（本书只介绍简.易的组合体) 2.几条重要的性质 (1).平行于棱锥底面的截面的性质定理1和2（§2·4）这两条定理对于度量棱台的表面积和体积都有用处 (2)祖暅定理(2·12).这条定理在本书是以公理的形式给出的.关于棱柱、棱锥、棱台的体积公式都是以本定理为基础的、 82098 ==========第216页========== (3)关于正棱锥、正棱台的一些性质： 正棱锥一由它的高、侧棱、斜高、底面正多边形的半径和边心距、底面的边长等所组成的四个直角三角形（§2·4中图2·18)很有用处，在计算它的侧面积或体积时，要利用这些直角三角形的边角关系， 正棱台一由两底中心的连结线段、侧棱、斜高、两底面的半径和边心距、两底的边长等所组成的三个直角梯形(§2·5中图2·27)，对于计算它的侧面积和体积都很有用. 欧拉公式： V+F-E-2 8.计算公式对于棱柱、棱锥和棱合，设？是棱柱侧 棱长或者是棱锥、棱台的斜高，飞是它们的高，P是棱柱直 截面周长或者是棱锥和棱台的底面周长，则 侧面积 全 面 积 体 积 棱柱 P IP+28 S底h 棱锥 号P+s 合h 楼台 (2:+P号2：+P+8+8,号A(+S+V) 注：对于侧面积和全面积指的是正楼锥和正楼台， 设拟柱体的上下两个底面面积分别等于Q1、Q2,中截 面面积是Qo,高是五，那么这拟柱体的体积公式是： V-=合a(Q+Qa+40. 4.作图棱柱、棱锥和棱台直观图的画法。 复习题二A 1.正方体AC1中，在对角面B1BD内自点B作B丑垂直对角线 :204· ==========第217页========== B1D,求证HD=2HB1. 2.一个棱锥的侧棱都相等，底面多边形的边长也都相等，这个棱锥是否正棱锥？为什么？ 3.立方体的棱长增加一倍，它的体积是否也增加一倍？ 4.求三个面的面积分别为1、2、的长方体 (第1题) 的体积 [提示：设交于一个顶点的三条楼长为x、y、名那么则=1、xg=?2、y%=,从中解出x、y、.] 5.一斜棱柱的底面，是一个一边长2cm、其他两边长3cm的等腰 三角形，它的侧棱长4cm,且侧棱和底面成45°的交角，求与此棱柱体积相等的立方体的棱长， 6.正四棱柱底面的对角线为8cm,侧面的对角线为7cm,求这正 四棱柱的对角线. 7.将正棱锥的高”等分，过各分点引平行于底的截面；若这棱锥的底面积为，求各截面的面积。 [提示：应用平行于棱锥底面的截面性质定理.] 8.直平行六面体底面两边分别长d、b,夹角为30°，侧面积为S,求它的体积 9.正四棱台两底面的边长分别是a、b,它的侧面积等于两个底面 面积的和，求这棱台的高 10.一个斜棱柱的高是九，直截面的周长是的，侧棱与底面所成的角是a,试用三角函数表示它的侧面积. 1.过棱锥的各侧棱分别作垂直于底面的平面，求证这些平面相交 于一直线 12.求证正四面体各顶点到对面所引的垂线的长相等. 13.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，依次连结AA1、AB1、B1C1、 C1C、CD、DA这六棱的中点，证明所得的图形是正六边形. 14.求证三棱柱的两个侧面的面积之和，大于第三个侧面的面积 15.求证正棱锥的侧面积与底面积的比，等于斜高与底面正多边形的边心距的比 [提示：从两个求面积公式中去考虑.] 16.过棱长为a的正方体中交于一点的二条棱的中点作一个平面，将这个正方体截去一只角。求正方体剩余部分的体积。 .205· ==========第218页========== [提示：截去的部分可看作是一个直三棱锥.] 17.三棱锥底面一边的长为16cm,和这边相对的侧棱为18cm,其 余四条棱为17cm,求其体积. 18.截正四棱柱的底面的边长为a,两条相邻的侧棱的长都是b,另 两条侧棱长为c,求它的体积 [提示：以原来的一个侧面为底面，那末可应用拟柱体求积公式.] B D G (第18题) (第19题) 19.在直三棱柱ABC一A1B1C1中，底面是一个直角三角形，∠ACB =90°，锐角∠A=a,BC=a,自角顶C作截面与斜边AB平行，并与侧面A1ABB1所成的二面角是90°一a,求截面与下底面间这一部分的体积 略解在底面内自C作CG LAB,则易证CG为四楼锥 C一EABD的高.在侧面ABB1A1内自G作GFLAB,连结 CF,则应用三垂线定理可证CF⊥D.又，△CFG≌△CBG,从 而得出FG=BG,于是： 四棱锥C-ABDE体积=ABFG·C&-ABBC.CG3 .3 而 BC2=AB.BG,CG=a.cosa, 、V=ai 复习题二B 1.试证凸多面体的棱数，不能少于6， 2.试证凸多面体的面角之和等于4(V一2)d. 3.求过正四棱柱对角线BD1并平行于底的对角线AC的截面. ·206· ==========第219页========== (第3题) (第4题) 4.已知三棱柱AC1,过上底面中一点P和棱AB上一点，BC上 一点R,作这三棱柱的截面图形 5.设一四面体被一平面所截，如果截面为一平行四边形，则此截面平行于四面体的一组对棱. 6。已知四点A、B、C、D在平面M、N之外，这四点在平面M上的 射影在一直线上，在平面N上的射影是一平行四边形.试证这 四点也构成一平行四边形 7。已知长方体AC的对角线AC1与对角线 A1C的夹角∠A0C=120°，底面边长AB =4cm、BC=3cm.求这长方体的体积.8。已知长方体的对角线长为乙，它与底面所成 的角为%，底面两条对角线的夹角为B. (第7题) 求证长方体的体积V=incos2ainB 9.用铁皮做一个上大下小的正四棱台形状的容器（上面开口），使其容积为208立方厘米，高为4厘米，上口边长与下底边长的比为5：2，做这样的容器（不计铁皮的厚度和加工余料)需要多少平方厘米的铁皮？ 10.截头直三棱柱的体积等于其底面积与三条侧棱 之和的三分之一的乘积 [提示：求证V=}(A4+BB+C0)△ABC,] (第10题) 11.有一定的全面积为2a2的诸长方体中，试求其体积为极大的各 棱之长。 [简解：设长方体的三条棱各为x、y、名，则其全面积为2(ay+yg+)=2a2,它的体积V=y%,因V与V同样有极大值，今欲求V=cya的极大值，则可求V?=yg2的极大值.而2yg2=x划、ya、℃，但题设y十路十心=2是一常数，故知其积 207g ==========第220页========== 的极大当y=ya=x,就是x=y=a时，长方体的体积7有极大值，这就是说全面积一定的诸长方体中以正方体的体积为极大.] 12.设有一正棱锥，以平行于它的底面的平面 截之，并以其截口为上底，在棱锥的底面上取下底，作一棱柱，今设此棱柱有极大的体积，则由底面至截面的距离是多少？[提示如图，棱锥V一AB,它的底面积为m,高为n,又设棱柱的底面A'B'的面积为m',高 (第12题) 为x,今根据平行于棱锥底面的截面的性质，则有”-伍二)2h 而棱柱的体积7=mw红，把前式代入得，V=m红=mh)工.再设22 法求得上式的极大值时，不难求得“=号时，棱柱有极大值】 第二章测验题(希望在120分钟内完成) 1.已知正方体的一条对角线的长为，求它的一条棱的长. 2.在正六楼锥V一4BCDER中，底面多边形的边 长为b,侧棱长为2b,求这棱锥的高和斜高. 3.设如图，点P、Q、五分别是正方体各棱的中点， 求过P、Q、R三点的截面图形 4.设凸多面体的各个面都是三角形，则其面数一定是偶数，试证明之 (第3题) 5,如果两个四面体中，有一个三面角的三个面角对应相等，并且顺序相同，则这两个四面体的体积的比等于其等三面角的 三条棱的乘积的比， [提示：设四面体VABC和 V'A1BC1,其中三面角V全等于 V.今把三面角”重迭到三面 (第5题) 角V上，然后再证明它们的体积之比等于VAVB.U:VA1B1 42⊙8d ==========第221页========== C1.] 6。体积为一定的诸长方体中，试求其全面积为极小时，各棱之长。 7.设由四面体ABCD的各顶点至各个对面所引的垂线为a,b,c,风，又设这四面体内的任一点P至各面所引的垂线为a,b,c, .(其中a与a,b'与b,…是同一面上的垂线之长)试证용+않++을-고 8。任意三棱台，如果把它分成三个三棱锥时，则其中一个的体积是其他二个棱锥体积的比例中项 [提示：如图.分为三个棱锥E一ABC,E一ACD (第8题) 和包一DCF,再设法证明V-4op是Vi-0与V1-Cg的比例中项.1 4208◆ ==========第222页========== 3 旋转·体 四柱、圆锥和因台 §31圆 柱 如果把矩形OOAA1(图3·1)的一边O1O所在直线为 旋转轴，旋转一周所成的图形称为圆柱.OO所在的直线 称为圆柱的轴。A1A称为圆柱的母线，由母线A1A旋转所 成的圆柱面称为圆柱的侧面，矩形中的其他两边OA和 OA1旋转所成的两个互相平行并且相等的圆面，称为圆柱 的底面.两个底面间的距离称为圆柱的高（如O1O及A1A 都等于圆柱的高).我们容易证得，圆柱有下述一些性质（如图32)： 图31 图32 1.圆柱的轴过两个底面的圆心，并垂直于两个底面 2.垂直于圆柱轴的平面、截圆柱所得的截面，是和底 面相等的圆（如图3·2中的圆O). 3.过圆柱的轴的平面，截圆柱所得的截面是一矩形 (A1ADD),称为轴截面，A1A和DD是圆柱的母线，D1A1 ●210● ==========第223页========== 和DA是两个底面圆的直径， 4.平行于圆柱轴的平面，截圆柱所得的截面是一个矩 形(B1BCC),B1B和C1C是圆柱的母线，CB1和CB是 底面圆的弦 例1 圆柱的任两条母线，决定一个平面，这个平面平行或通过圆柱的轴（图3·3）.[证] 因为圆柱是以矩形的一边为轴旋转一周而成的图形， 又因轴O1O的对边A1A平行于OO的，因此A1A的任何 位置都平行于轴的，也就是任何一条母线平行于其轴.。根据空间三直线平行的性质，可知任两条母线都是平行的。从而证得任两条母线决定一个平面，而这个平面含有与轴平行的母线，所以平面平行于轴. 如果两条母线位于底圆直径的两端（如A1A和B1B), 则平面A1B包含轴OO,或者说平面通过它的轴O1O. 图33 图34 例2 一个高是8cm的圆柱，作一个平行于轴并且和轴相距2cm的平面去截它，这截面在圆柱底面内截得的弧含有60°，求这截面的面积（图3·4）[解] 设截面为AA1B1B.在底圆O内，作OM⊥AB,则有 0M=2om,并且OM平分∠O,但∠AOB=60°，所以 ∠B0M=30° .'、BA=2BM=2OMg∠BOM -20Mg80-2x2xY5-含V. ◆2110 ==========第224页========== .截面AA1B1B的面积 =BB1·BA=8×4√③=82√8 3 3 (cm2). 答：这截面的面积是2√3cm2,约是18.47cm. 8 §3·2圆·锥 如把一个直角三角形VAO的直角边VO所在的直线 为轴，旋转一周所成的图形称为圆锥（如图3·5）.VO称为圆 锥的轴.直角三角形的斜边VA称为圆锥的母线，由母线 VA旋转所成的圆锥面称为圆锥的侧面.直角三角形另一 条直角边OA旋转所成的圆面称为圆锥的底面.从顶点V 到底面的距离称为圆锥的高（少O⊥底圆O,所以VO就等子 圆锥的高).我们容易证得圆锥有下面的一些性质（如图36): B 图35 图36 1.圆锥的轴VO上底圆0，并过底圆的中心 2.垂直于圆锥的轴的平面截圆锥所得的截面是圆，截面面积和底圆面积之比，等于自顶点（少）至截面和自顶点至底面距离平方的比， 3.过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面（轴截面）是一个等腰三角形，它的腰是圆锥的两条母线，底边是底面 圆的直径（如图36中的△VAA)。 .·212◆ ==========第225页========== 4.过圆锥的顶点(V)并和它的底面相交的平面去截 圆锥，所得的截面是一个等腰三角形（如△VBC),它的腰 是两条母线，底边是底面圆的弦. 例1 求证圆锥的顶角大于任何不在一个轴截面内的两条母线间的夹角[解] 在圆锥的一个轴截面内的两条母线间的夹角，叫做圆锥的顶角 在图3·7中的圆锥的轴截面VAB,其 图37 中∠AVB为圆锥的顶角.又VC和VD是不在一个轴截 面内的两条母线，它们的夹角为∠CVD. 在△AVB和△OVD中， VA=VB=VO=VD(都是圆维的母线)， .·AB>CD（(AB是底圆的直径，CD是弦)， ..∠AVB>∠CVD (两三角形有二边相等，第三边大的对角大).因为含有不在一个轴截面内的两条母线的截面，它和底面圆的截线是这圆的弦，而轴截面和底圆的截线是直径，因直径是圆的最大的弦，所以圆锥的顶角大于（不在直径两端点的)任两母线所成的角. 轴截面是等边三角形的圆锥，叫做等边圆维，如图3·8 中，圆锥的轴截面△VAB是等边三角形 高和底面圆的直径相等的圆柱，叫做等边圆柱.如图 3·8中，内接圆柱的高CE等手底面圆的直径CD.这圆柱 是等边圆柱 例2 一个等边圆锥的底面圆的半径是？，求它的内接等边圆柱的底面圆的半径[解] 因为△VAB等边，OA=r,可求得高VO=r√3今设0C=x,则Oy0=2c. 在等边圆锥和等边圆柱的共同的轴截面中（如图3·9）， ·213· ==========第226页========== 图38 图39 △VC0'∽△VAO,则有 CO'VO A0-70, 又 V0=V0-0'0=rN/3-2x, 把已知的条件代入上面的比例式，则得 龙=r√宫-2x rr/3 即 r③c+2rx=r3√/3，(g√3+2r)=N/3, r2√3r√3-=(2√3-3)r.r(2+W/3)2+√3 答：内接等边圆柱的底面圆半径为(2√3-3)？. 例8 圆锥的底面圆的半径是？，高是飞，在它里面作一个各侧面都是正方形的内接正三棱柱，求这棱柱每条棱的长(图3.10). [解] 设x为这棱柱的棱长.那末从圆锥的顶点到内接正三棱柱上底面的距离等于h一；又上底面正三角形的半径 0C1=V③x 3 又OD=r, 因为△VO1C1∽△VOD, ..OC1:0D=V01:V0, 图310 ·214· ==========第227页========== 即 √3：r=(h-:b, √3hr h+√3r 这棱柱的楼长是中，. 答： 习题 1,已知圆柱的底面圆半径是2cm,高是3cm,求它的轴截面内对 32 角线的长 2.已知圆柱的轴截面是一个面积为Q的正方形，求这圆柱一个底 面的面积， 3.圆柱的底面圆半径是20cm,高是15cm,有一平面平行于轴且和轴相距12cm的截面，求这截面的面积 4.一个等边圆柱的轴截面的面积是36cm?,求它 (第4题的 的内接正六棱柱的体积. 轴截面) [提示：等边圆柱的轴截面是一个正方形，其中AB是底面圆的直 径，AA'是母线.] 5.圆柱的内接三棱柱的一个侧面过圆柱的轴，求证这棱柱的其他两个侧面互相垂直. [提示：如图，三棱柱AC1内接于圆柱，又侧面AB1 过圆柱的轴OO1,要证其他两侧面ACG和BC1互相 垂直，只要证其二面角A一CC1一B1是直角二面 角.J 6.一个圆锥的母线长是1=12cm,母线和轴的夹 (第5题) 角为30°，求这圆锥的底面积. 7.已知圆锥底面的直径是8cm,高是3cm,求母线的长. 8.圆锥的高是20cm,底面半径是15cm,过它的顶点作一个截 面，如果底面的圆心到截弦的距离是12cm,求这截面的面积. 9,过高为12cm的圆锥的顶点，作一个与底面成45°的二面角的 裁面，这截面把底面的圆周截去，求这截面的面积. 10,一个圆锥底面的半径是，高是h,求它的内接正方体的体积. ·215· ==========第228页========== §33l圆 台 如把直角梯形（如图3·11中的0：0AA1)的垂直底边 的腰所在直线(OO)为轴，旋转一周所得的图形称为圆台. 直角梯形的垂直底边的腰(OO1)叫做圆台 的轴.梯形的另一腰(A1A)叫做圆台的母 线。由母线旋转所成的面，叫做圆台的侧 面.梯形的两条底边(O1A1和O4)旋转一 周所成的两个互相平行的圆面叫做圆台的底面.两个底面圆间的距离叫做圆台的高 图311 (如轴O0垂直于两底面，010就等于它的高). 我们容易证得圆台有下面的一些性质： 定理1 圆台的轴过两个底面的中心，且垂直于两个底面， [证] 圆台可以看成是一个圆饿(V一OA)截去一个圆锥 (W-一O4)的余下部分，并且这个截面平行其底面（图3.12）. 图312 图3.13 我们作圆锥(V一OA)的轴截面VAB(如图3·13)，则 截面VAB1就是截去那个圆锥的轴截面，因为这两个圆锥 的底面平行，所以圆锥V一OA的轴VO与圆锥V一O1A1 的轴VO1是重合的，即VO垂直于两个圆锥的底面，且过 两个底圆的中心.从面可知圆台A1B的轴O0过两个底 面圆的中心，且垂直于它的两底面 定理2 圆台中任两条母线在一个平面内. ・216 à ==========第229页========== [证] 如图3·14中，A1A,B:B和C1C都是圆台AC的每 线，如果要证明两条母线在一个平面内，则要证明这两条母线能相交于一点。因为圆台可以看成是一个圆锥，作平行其底的截面，截去一个圆锥的余下部分.，现在把截 去的圆锥V一O1A1再放到圆台A1C上去， 再引长圆台的母线AA1,BB1和CC1,显 图3.14 然这些母线都相交于圆锥的顶点V、也就是圆台的任两条 母线都相交子V,因此在同一个平面内， 定理3 过两条母线的平面截圆台所得的截面图形，是一个等腰梯形.如果截面包含这圆台的轴时，则称这截面为圆台的轴截面. [证] 如图3·15中，截面B1BCC1的B1B和CC是二条母 线，延长BB1和CC1使相交于V. 则 VB-VC, 又 VB1-VC1, .B1B=CC 因为底面圆O1平行于底 圆O,可知截面和两底的交线 B1C1‖BC. 图315 图 3.18 所以梯形B1BCC1等腰. 如果圆台的两条母线位于两底圆的直径两端点时，则这两条母线所在的平面，截圆台时，通过它的轴，如图3·16 中的等腰梯形A1AEE1,就是圆台A1C(图3·15)的轴截 •217· ==========第230页========== 面。 〔注意〕 从本定理的证明过程中，得知圆台的母线都是相等的，同时画圆台的母线时，要注意到每一条母线延长后，都和它 的轴的延长线交于一点V, 前面已经讨论了圆柱、圆锥和圆台的一些性质.在解这类问题时，要注意利用它们的轴截面.因为，这三个旋转体的轴截面都包含了底面的半径、母线和高这三个元素；再结合应用轴截面图形的性质，有时可把这类问题转化为平面几何问题而获得解决 例如，图3,17中的等腰三角形OAB是圆饿的轴截面， 其中OO1是圆锥的轴.设它的母线、底面半径、高、母线与 底面的交角分别为？、R、h和，那么就有下面的一些计算公式： (1)2=R2+h2, h (2)sina= (3)cosai. R 01 图317 图3.18 在图3·18中的等腰梯形ABOD是圆台的轴截面，其 中OO1是圆台的轴。设圆台的母线、两个底面半径、高、母 线与下底面的交角分别为？T、R、h和a,那么就有下面的 一些计算公式： (1)2=2+（R-r); (2)ina=气 ·218 ==========第231页========== (8)0sa=B-Y(R>）. 例1 圆台的一个底面的周长是另一个底面的周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线和底面的夹角是45°，求这圆台的高、母线和两底面的半径的长[解] 设上下底面的半径分别为？和R,则由题设可知 2rR=3.2rr. 41 01 B1 ..R=3r. 145 作出圆台的轴截面ABB1A1,它是 一个等腰梯形（图3·19）.则 图319 01A1=T,0A=3r. 在轴截面内，过点A1作A1H⊥OA;那么 AH=0A-01A1=3m-m=2r. 在直角三角形AHA1中：已知∠A1AH=45°，则 441AH c08450-2m=2√互m.V 2 A1H=AH.tg45°=2r. 现在的问题是求出”就可以了、由题设，轴截面的面积等于392cm,但另一方面，轴截面ABB1A1的面积= 哥（4B+AB).00=壹(2r+6n）2r. 量2r+6）.2r-892. .r=7. 因此，圆台的高 010=20°=14. 母线的长 AA1=2W2r=14W2. 上底面半径 01A1=T=7. ·219· ==========第232页========== 下底面半径 0A=3r=21, 答：这圆台的高是14cm,母线的长是14√2cm, 两底面的半径分别为7cm和21cm, 例2 过圆台的轴的中点而平行于底面的截面，称之为圆台的中截面.已知一圆台上下两个底面的 D C1 C 面积分别为P、?,求它的中截面的面 积. [解] 作出该圆台的轴截面（图3·20），BF是 圆台中截面的直径，它经过高OO1的中 图320 点M.设这圆台上下两个底面半径分别为？、R. 因为2=P,所以r=Y同理R=Q 在等腰梯形ABCD中： Mr-ORtO0 r+R 2 2 即 Mr-P+VQ 2Wπ 。中截面的面积=πM2 =(a°-@22√/ 答：圆台中截面面积等于是（√匣+√风）2. 〔注意) 可以发现圆台的中裁面的面积公式与棱台的中截面的面积公式是一致的 例3 圆台两底面半径分别为、R,过圆 台的两条母线作出一个截面，已知它与底面的二面角是a、不与轴相交、又截面截得两底弧的度数都是δ，求这截面的面积. 图321 ·220· ==========第233页========== [解] 如图3·21，A1B为过圆台的两条母线AA1和BB1所 作的截面。因圆台的两个底面平行，所以这个截面是等腰梯形。 取A1B1、AB的中点C1、C,连接C1C及OC,那么 ∠CC0=a&.而已知∠AO1B1=∠AOB=8,于是 4B=24,C:=2rin多，4B=240=2Rin含0,G=roa9,00-Ro咖会. 自点C1作C1HLOC, CH=00-0H=00-0,C1=(R-r)c0s氵. 在直角三角形C1HC中， C,0C1-（R-)2 cosa cosa .截面4，B,BA面积=(AB:+AB)·C,0 8 -血+2R多》(R-r)coscos a =(R+)sin(R-r)cos2 cos a 86 2(R2-r2)in气c0sZ 2cosa =(R2-2)sin8 2 cosa 答：截面面积等于(R-r2)sin82cosa ·221· ==========第234页========== 习题 】.圆台的两个底面半径分别是3cm和8cm,母线的长为13cm, 33 求这圆台的高 2.圆台的高是10cm,上底面的半径为5cm,母线与下底面的夹角为45°，求这圆台下底面的半径. 3.圆台的上底面半径、下底面半径和高这三者的比分别为1：4：4，母线的长是10cm,求截得这个圆台的圆锥的底面半径和高. 4.圆台的上底面半径是，下底面半径是R,高是九.求截得这个 圆台的圆锥的高， 5.圆台的两个底面半径分别等于3cm和7cm,母线长5cm,求它的轴截面面积. 6.圆台的高等于10cm,两个底面半径分别等于8cm和18cm;一个平行于两底的截面的面积是两个底面面积的比例中项，求这个截面与两个底面的距离. 7.圆台两个底面的面积分别为9元cm和25wcm2,求它的中截面 的面积. 8.一个圆台的两个底面面积分别是4rcm2和36πcm,高为8cm,有一个平行于底面的截面，已知这截面面积为9rcm2,求这个截面和两个底面的距离， 9.A1A、B1B、C1C是圆台的三条母线，A1、B1、C1在上底面内， A、B、C在下底面内，求证：△ABC∽△A1BC1 10.圆台的两个底面面积分别为4m和25m,三等分它的高，并过 分点分别作与两个底面平行的截面，求所得两个截面的面积.[解：设所求两截面面积分别为x、y,那么截面x是这个圆台的上底 面和截面y的中截面；而截面y是截面c与圆台下底面的中截面。 由例(2)知 x=V年+V) 4 ,.2W五=2+√y. 同理 2Wg=5+W元. 将上两式联立，解出心和： x=9,y=16, 答：这两个过三等分圆台高的分 点的截面面积分别等于9m和16m2.] (第11题) ·222 ==========第235页========== 11.圆台的两个底面半径分别为5m和10m,高为8m.有一个过 两条母线且和两个底面分别相交的截面，如果两底面的中心到截面和两底面的交线的距离分别是3m和6m.求这个截面的面积。 §341圆柱、圆锥和圆台的直观图 圆柱、圆锥和圆台的直观图可以应用和棱柱、棱锥和棱台的直观图的画法类似的方法来画，但是由于它们的底面图形不是多边形，而是椭圆，采用这种画法比较麻烦，不妨应用另一种画法。 下面先来研究底面椭圆的画法。一种是描点法，这在第一章中已经研究过了；另一种是近似画法，这就是：把三 条轴01X1、O1Y1和01Z1两两所夹的角都画成120°，各对 应点的坐标的长度都取得和原来的一样.具体的画法如下： 在O1X1和O1Y1上分别取C和D,使O10和O1D等 于原来底面圆的直径AB,以.O1C和O1D为两条邻边作菱 形O1CED.取各边的中点M、N、P、,连结O1N、O1P、 EM和Q,得到交点K、L.分别以O和E为圆心，以 ON为半径画NP和M;再分别以K和L为圆心，以 KM为半径画MN和PR.这样就画出了一个近似椭圆. 菱形O1CED的对角线的交点就是原来底面圆心的对应点 (图3·22) D (1) (2) 图322 ·223 ==========第236页========== 底面圆画好以后，可以按照棱柱、棱锥和棱台同样的画法，画出圆柱、圆锥和圆台的高和上底面，然后连结其他线段，就得到圆柱、圆锥和圆台的直观图，例1 圆柱的底面半径是18cm,高是50cm,画出它的直观图 [解] (1)取比例尺1：20.画互成120°角的0X、0Y和 OZ三条轴.在OX、OY轴上分别取OA、OC等于1.8cm、 画菱形OABC,并画出它的内切近似椭圆，这就是圆柱直 观图的下底面 (2)设AC和B0相交于D,沿OZ轴方向取DD1= 2.50m.以D1为对角线交点作菱形A1B1C1O,使A1C1L AC、BO1丝BO,再画出它的内切近似椭圆，就得到了圆柱 直观图的上底面（图3·23(1）). (3)设A1C1和AC分别与上下近似椭圆相交于E1、 P1和、F点，连结E1E和F1F,整理后就得到所求圆柱 的直观图（图323(2）).· 2) 图3.23 例2 圆饿的底面半径为0.5cm,高为1.5cm,画出它的直观图， [解] (1)取比例尺2：1.按照例1的画法，取0A=0℃= 2cm,画出圆维直观图的底面. (2)设AC和BO交于点D.沿OZ轴的方向取 ·224.· ==========第237页========== SD一3cm,得到圆锥直观图的项点. 3)设AC和近似椭圆交于B和F,连结SB和SF, 整理后就得到所求圆锥的直观图（图3·24）. () 阳 图3.24 例8 圆台的上下底面半径分别为6cm和10cm,高为20cm,画出它的直观图[解] (1)取比例尺1：8.按照例1的画法，取0A=OC= 2.5cm,画出圆台直观图的下底面. (2)设AC和BO交于点D,沿OZ轴方向取DD1 =2.5cm.过点D1作直线ZHAC.在0C上取O0=1.5cm,过O1作CC1‖OZ,交1于C(注意，这只是平面内 的作图过程，不要看作空间的直线相交).过点C作 C01‖C0,交0Z于01，那么0C1=1.5cm.以0101为一 边作菱形O1A1B1C1,使AC1‖AC.画出O1A1B1C1的内 切近似椭圆，就得到直观图中圆台的上底面。 (3)设AC1和AC分别交上下近似椭圆于E1、F1和 (1) (2) 图3.25 ·225· ==========第238页========== D、F,连结E1、FF1,整理后就得到所求圆台的直观图 (图3·25). [注意) 在画圆锥和圆台的直观图时，由于画椭圆的方法是近 似的，往往会产生下面的情况：如图3·26(1)，连结SE和 SF时，结果与底面近似椭圆相交.如图3·26(3)，连结 1D和F1F时，结果与底面近似椭圆相交，这样的图形就 不够直观；因此，在实际画图时，对于圆锥，一般过顶点作底面椭圆的切线，如图3·26(2)；对于圆台，则作上下底面椭圆的公切线，如图3·26(4). 图326 习题 1.画出底面半径是25cm,高是40cm的圆柱的直观图. 34 2.画出底面半径是7cm的等边圆柱的直观图. 3.画出底面半径是2cm,母线为3cm的圆锥的直观图.[提示：先求出圆锥的高.] 4.一个圆锥的母线长15cm,顶角为60°，画出它的直观图.[提示先求出圆锥的底面半径和高.] 5.一个斜边长为20cm的等腰直角三角形，以它的一腰为轴旋转 一周，得到一个圆锥。画出这个圆锥的直观图 6.圆台的上底面半径是4.5mm,下底面半径是7.5mm,高是15mm,画出它的直观图. 7.画出上下底面半径分别是10cm和15cm,母线长20cm的圆台的直观图 8.一个直角梯形，上底长20cm,下底长30cm,一腰与下底成60°角。以另一腰为轴旋转一周，得到一个圆台，画出这个圆台的直观图. [提示：先求出圆台的高.] ·226◆ ==========第239页========== 圆柱、圆锥和圆台的面积 §35圆柱的侧面展开图和它的侧面积 在生产实践中，例如要制造一个圆柱形的罐头，一般是将一块矩形的铁皮卷成圆筒，再焊接起来 已知一个圆柱形的物件，例如电池、食品罐头等，如果将它的侧面的商标纸剪开、摊平，那么将是一个矩形，因此，为了求圆柱的侧面积，先作出它的侧面展开图 把一个高为、底面 半径为R的圆柱的侧面， 沿着一条母线剪开，根据 2xR 上面的叙述，就可以得到 图327 一个圆柱的侧面展开图（图3·27）。显然，它的侧面展开图 是一个矩形，它的一边AB等于圆柱底面的周长2B,而另 一边BC等于圆柱的高h.因此，这个圆柱的侧面积等于AB·BC,设R、h、S侧分别表示圆柱的底面半径、高和侧面积，那末 S侧=2rRh. 因此得到下面的定理： 定理 圆柱的侧面积等于它的底面的周长和高的乘积由于圆柱的两个底面半径相等，那末，圆柱的全面积为 S=20Rh+20R2=2R(h+R). 例1 圆柱的母线长10om,一个平行于轴并且与轴距离等于2cm的平面，截得圆柱底面圆的弧为120°，求这圆柱的侧面积（精确到1cm).[解] 已经知道了圆柱的母线长，要求圆柱的侧面积，只要再 ◆227· ==========第240页========== 求出圆柱的底面圆半径就可以了. 在圆柱的底面内，自点O作OD⊥AB(图3·28). .·∠A0B=120°， ∴.∠A0D=60°. 在直角三角形AOD中， A0OD2 c08600=i=4. 2 图3.28 。。圆柱的侧面积-2x×4×10=80r≈251(0m). 答：这圆柱的侧面积约等于251cm, 例2 要制造一个圆柱形的锅炉，使它的直径为1，高 2.5m;假如在焊接处需要损耗全面积的4%，求制造这锅炉需要多少钢板？[解] 由于锅炉是圆柱形，所以本题是求圆柱的全面积的问题.因此，所需钢板的面积是： 元×1.0×2.5+2r×0.5, 又因焊接处需要损耗4%的全面积，所以实际需要的钢板面积是 (m×1.0×2.5+2x×0.5)(1+4%)≈9.81（平方米）. 答：所儒钢板的面积约9.81平方米 例8 在高为丑、底面半径为R的圆柱内，作一个平行于底 面的截面，如果这截面的面积等于圆柱侧面被截成的两部分的面积的比例中项，求这截面的位置（图3:29). [解] 设此截面与下底面的距离O2O3为￠，那末 OO2=H一；并设圆柱侧面被截面分成两部 分的面积分别为P、2,那末 图329 P-20R(H-),Q=2Ra, 而截面面积为πR.于是： ·228· ==========第241页========== (oR2)2=20R(H-)2Rx, 即 (xR)3=4r2R2x(H-x), .'.4x2-4cH+R2=0, x=4H土√16H-16RH±√H°- 8 2 但本题须H8-≥0，即必须H≥R. 答：截面在与下底面距离为H+√H-R 2 或-√-E(H≥处 例4 全面积为144rcm2的圆柱，高比底面半径大10cm,求它的底面半径和高[解] 设圆柱底面半径为R,高为h=R+10.那末 2xR2+2rR(R+10)=144x, .·.R2+R(R+10)=72, R2+5R-36=0, (R-4)(R+9)=0. 因R须取正值， ",R=4,元=14， 答：此圆柱的底面半径为40m,高为14om. 习题 1.矩形的两条邻边分别等于a、b,分别以a和b为轴各旋转一周， 35 求所得的两个圆柱的侧面积.`如果a>b,这两个圆柱的侧面积是不是相等？全面积是不是相等？2。等边圆柱的高等于，求它的侧面积 3.圆柱的底面积等于，轴截面面积等于M,求它的全面积. 4.等边圆柱的侧面积为P,求它的全面积。 5、求圆柱的侧面积和它轴截面面积之比. 6.圆柱底面半径为五，侧面积等于底面积的三倍，求这圆柱的高， 7.、求圆柱的侧面积和它的内接正六棱柱侧面积之比。 8.正四棱柱高6cm,底面的一边长5cm,以它的两个底面中心为轴，钻一个直径是4cm的圆柱形的孔，求剩余部分的全面积. ·229。 ==========第242页========== [提示：剩余部分的全面积是正四棱柱的全面积减去圆柱的两个底面积，再加上圆柱的侧面积.] 9,求证两个圆柱侧面积之比，等于它们的轴截 面面积之比. 10,用薄铁皮制造一个圆柱形的烟囱，使它的高 是7m,直径为0.5m,如果接合处需要另加材料2%，全部所用材料是多少平方米薄铁皮？ (第8题) 11.用铁板制造一个圆柱形的铁桶，它的高另18，底面直径为 0.65m.假如焊接处的损耗占全面积的3%，问制造这铁桶共需多少铁板？ 12.圆柱形的蒸汽锅高是4米，底面直径是0.8米，如果锅内每平方 厘米的面积所受的蒸汽压力是11,5公斤，求这蒸汽锅内部全面积所受的蒸汽压力， §36圆锥的侧面展开图和它的侧面积 在制造一个圆锥形的铁漏斗器皿时，一般是先剪一个扇形，然后将它卷成圆锥再焊接；这一事例启发了我们，在计算圆锥的侧面积时，也与圆柱一样，先将它侧面展开，然后再求它的侧面积 把母线长为乙、底面半径为丑的圆锥侧面，沿着一条母线剪开，并且把它展 ·开；.由于圆锥母线的长都相等，它们相交于圆锥的顶点，因此侧面展开图是一个扇形（图330）.这扇形的半径等于圆锥 图：330 母线长飞，扇形的弧长等于圆锥底面的周长2πR 在平面儿何中，已知扇形的面积等于扇形的弧长和扇 形半径乘积的一半.设R、乙和S。分别表示圆锥的底面半 径、母线和侧面积，那末： 공2 ·.230◆ ==========第243页========== .‘.S=匹R忆. 因此，得到下面的定理： 定理 圆锥的侧面积，等于它的底面的周长和母线长乘积的 一半.设S全表示圆锥的全面积，那末 S全=πRU+R2 ..S毫=匹R(化+R). 已知一个圆锥底面的半径为R,母线长飞，可以求出它 的侧面展开图的圆心角.例如，图331是一个圆锥的侧面展开图，扇形的半径VA=乙，扇形的弧长=2cR,设这扇形的圆心角为&，由平面几何 2红R 知识可以知道： 图331 2niR-mla a=360°.且 式子“=60，号不但指出了扇形的圆心角的大小，并且还表示了圆锥的母线、底面半径和扇形圆心角这三个量之间的关系，在这三个量中，如果知道两个量就可以求得第 三个量. 〔注意) 公式a-是30°中的卫是圆锥底面的半径，而不是 它的侧面展开图的扇形的半径；乙是圆锥的母线的长，也就是它的侧面展开图扇形的半径；角“是侧面展开图扇形的圆心角，而不是圆锥的顶角，注意不要混淆. 例1 求等边圆锥（轴截面是等边三角形的圆锥)侧面积和底面积的比.[解] 在等边圆锥V中（图332），△VAB 图332 为它的轴截面.设OB=R,于是侧棱VA=B=2R.因 S=σ・R.VA=TR.2B, S*=R2. ·231· ==========第244页========== S程=πR·2B2 SπR2. 答：等边圆锥侧面积与底面积的比是2：1， 例2 母线为一定长线段α的许多圆锥中，试求其中侧面积为极大的那个圆锥[解] 设圆锥的母线长为α，底圆的半径为心，高为y(图3.33).并设圆锥的侧面积为rm.在直角△VOB中，则有 a+y2=a2. (1) 侧面积 图3.33 tax=ocm (2) 今欲求圆锥的侧面积（πax)为极大时，也就是求x为极大时（因为侧面积πa心中匹a都是常数），由(1)得 2=a2-y2. 从上式可知心的极大值在则为极小值时，就是在y=0时，因此圆锥的侧面积在y=0,c=α时有极大值πa.也就是 圆锥的顶点V落在底面圆上，而圆锥变形为圆时， 例8 设一个圆锥的侧面积是10cm,它的侧面展开图扇形的圆心角等于36°，求它的全面积.[解] 设圆维的底圆半径为rcm,母线长为乙cm,a=36°(如图334)，由公式a=360.T,以36°代a,得 36°=360°. .∴.Z=10m. 因为 S侧=crl, 已知 S锅=10， 故 arl=10, 以10m代式中的乙，得 元r.10r=10, 图334 232· ==========第245页========== 元2=1， 因此， 8全=Sg+r2=10+1=11(om) 答：这圆锥的全面积是11cm2 习题 1.圆锥的高h=5cm,底面半径r=4cm,求它的侧面积和它的侧 36 面展开图的圆心角。 2、圆锥的高h=6cm,母线Z=10cm,求它的全面积. 3.求证圆锥的侧面积等于它的中截面的周长与母线的长的积 [提示：S侧=元礼，只要证明中截面的周长为匹即可.] (第3题) (第4题) 4.圆锥的侧面积等于它的高乘以母线的垂直平分线夹在母线和轴间的线段为半径的圆周长之积 [提示：设如图，VO=九，OA=T,MN⊥VA,M是VA中点， VM=MA=克，1 因为直角△VMV∽直角△V0A,因此， 2 VM VO 2 h MNOA'即N- 化简得，2MN.h=r亿.] 5。用帆布作一个☒键形的帐篷，它的高A=3号m,底面直径4m, 需要帆布多少平方米？ 6.圆锥形的塔尖，它的侧面积是14.13m”,底☒半径是1.5m,求塔尖的高（精确到0.1m) 7.一个圆锥的侧面积是106.76cm2,高是7.5cm,求它的母线的长（取x=3.14). 8.把一个圆锥的侧面展开成扇形，试证这扇形的圆心角等于360°乘以圆锥的半顶角的正弦 9.把底圆半径是3，高是4的圆锥的侧面展开，得一扇形，求这扇形的圆心角。 ·233· ==========第246页========== 10.母线为一定长线段a的许多圆锥中，试求其中全面积为极大的那个圆锥 [提示：参考本节例2的解法.] §37圆台的侧面展开图和它的侧面积 圆台的侧面展开图，可以看成是两个圆锥侧面的展开图的差（图3·35）.也就是说，圆台侧面的展开图是从一个大扇形中减去一个小扇形后，所余下的部分.这两个扇形有相同的圆心角（α）.这个圆心角a可以这样求得设圆台母线的长为？，小扇形的半径为1，那末大扇形的半径是+，由弧长的公式，得 图3·35 m(亿+l1)a=2cr, 180° ala 180°一2匹f1. 上面二式相减，得 1800=2r(r-m),la ∴.a=860.y1 定理 圆台的侧面积等于它的两个底面周长的和与母线的长的积的一半 设圆台（如图3·35）上底面的半径为T1,下底面的半径 为，母线的长为？ [求证] S.=(r1十r)l [证] 我们从圆台的侧面展开图中，可以看出它的侧面积等于两个扇形面积之差，今设小扇形的半径为1，则大扇形的半径就等于+1。由扇形的面积公式，得 ·234 ==========第247页========== 大扇形的面积是r(亿+1)：小扇形的面积是cT1.上面的两个扇形面积之差，是 S=r(+1)ーσ1=σ[rl+ム(r-)]. (1) 现在我们要设法用已知量来代替1.设如图3·36是 圆台扩充成圆锥后的轴截面，其中AO1=T1,AO=T, A1A=乙，AV=Z1.因为 △VO1A1c∽△V0A, +1=个 化简，得=，把它代入)式，故 ー1 S侧=(rl+T)=元(r十r1)Z. 图3.36 推论 圆台的全面积等于它的两底面积之和再加上它的侧面积。 即 Sを=元(r+ァ3+r1l+rl). 例1 试证一个圆台的侧面积，等于它的中截面的周长和母线之长的积 [解] 我们作圆台的轴截面ACDB,MN是圆台中截面的直 径，设OB=T1,OD=T,BD=乙，在梯形AODB中，MN 是它的中位线，因此 MN=号(AB+CD)=司2r+2m)=r+r,所以中截面的周长为匹(r1+),今再乘以母线飞，得 S=π(r1+r)l. 图337 图338 ·235· ==========第248页========== 例2 圆台的侧面积等于它的高与以母线的垂直平分线夹在母线和轴间的线段为半径的圆的周长的积.[解] 作圆台的轴截面（如图3.38），M是AB中点，KM⊥ AB交OO(轴)于K,义N是OO的中点，连MN则 MN⊥OO,过O1作O1B1‖AB. [求证] S=2sMKO1O.如设AB=乙，O10=h,则要证明 S=2πhMK. 因为，直角△MNK∽直角△O1OB1 (因为锐角∠KMN=∠OO1B,它们的 两边相互垂直)， .∴.MK:O1B1=MN:01O, 今以b代O,0,(OA+OB)代MN,又0B=AB=,于是上式可写成 MK:l=壹0A+0B):a, 即 MK.A=号OA+0B, 又 01A=r1,0B=r, MKA是(+r以， ∴ 2т・MK●h=元（г1+r）, 由例1知 S制=匹(r1+r), .'S=2whMK. 例8 圆台的侧面积是S,上下底面的半径分别是？和R, 求截成这圆台的原来圆锥的侧面积（图339). [解] 设圆锥的母线长是乙，那末圆锥的侧面积是xR. .现在我们用S,R,来表示.因为 图339 ·236+ ==========第249页========== 圆台的衡面积S=元(R+r)·A1A,所以圆台母线A1A的长 S 为匹(R十r) 又因△VAO1△VAO,得 [小-rR -0 即 (R-r)l=R+T)’RS RS l=匹(R2-r), .圆锥的侧面积=庇R=πR.RS (R-) R"S R2r3· 答：原来圆锥的侧面积是 RS p2-9、 例4 一个圆台的全面积等于572，两底面半径是6和14，求这圆台的高.[解] 作圆台的轴截面（图3·40），则 0:A1=6,0A=14,A1HL0A, 并设A1H=h,由圆台的全面积公式，得 图340 S全=匹(62+14+20)=572， 即 20l=572-234, ..1=17. 在直角△AHA中，HA=14-6=8,A1A=17. ..·.h=/172-82=15 答：圆台的高h等于15. 习题 1.一个圆台的上下两个底面半径分别为1和，母线与底面的夹 37 角是60°，求这圆台的侧面积. 2.油漆100个倒圆台形的水桶外部的侧面和下底面，每个水桶的 237· ==========第250页========== 上下两底面的直径分别是30cm和25cm,母线的长是27.5cm.已知每1m2的面积需150克油漆，问共需油漆多少？ 3.打算用薄铁皮作一个锅炉上的圆台形的罩盖，尺寸如图所示（单位是米，0.2表示直径是0.2米)，需要铁皮多少平方米（不考虑焊接处的损失)？ 1.0 (第3题) (第4题) 4.圆台的上下底面半径分别是"和R,平行于底面的截面把圆台 的侧面分成上下两部分，它们面积的比等于p:g,求这截面的半径. 提示如图，O1A=Y,OB=R,QP=x,AHLOB,又圆台被截分上下两部分侧面积之比为p:9,则有 p=(r+a)・AP, 即 AP=p 元(r十) (1) 又 p+g=(R+AB, 即 AB=p+g (2) 匹(R+r) 今 △ANP∽△AHB, 则有 AP AB (3) 花一yR-r 把(1)和(2)代入(3)，并化简便得 =NpR2+gr2 p+g 5.一个圆台的两个底面半径分别是1和3，它的侧面展开图是圆环的一部分，已知全圆环的面积和这圆台的全面积相等，求这圆台的母线之长. 提示：设母线长为c,则部分环面积=4rx,全环面积=x(10+4x), •238◆ ==========第251页========== 因此m(10+4如)：4rx=360°：360°63-1，解这个方程，可求得 =1+W万.] 6.一个圆台的高是8cm,两底面半径与母线长之比为1：4：5，求这圆台的侧面积. 7.已知圆台的轴截面的面积为F,母线与底面的夹角是30°，求这 圆台的侧面积. 圆柱、圆锥和圆台的体积 §3·8圆柱的体积 当一个圆柱的内接正棱柱的侧面数无限增加的时候，这棱柱的体积的极限叫做圆柱的体积. 定理 圆柱的体积等于它的底面面积和高的积. [已知] 在圆柱中，底面面积是S,高是b,体积是V. [求证] V=Sh. [证] 在已知圆柱内作一个内接正棱柱A(如图3·41)，分 别用V1、S1和h表示这棱柱的体积、底面面 积和高，那末V1=S1五 当这棱柱的侧面面数无限增加时，它的 底面面积S1的极限就是圆柱底圆面积S,而 它的高五没有变.因此，乘积S1h的极限就 图341 是乘积Sh.依照上述的定义，V1的极限就是V,故得 V=Sk 推论 如果用、'b和V分别表示圆柱的底圆半径、高和体积，那末 V=元r2h. 例1 一个圆柱的高是丑，它的侧面展开图中，母线与对角线的夹角为60°，求它的体积（图342）， ·239· ==========第252页========== [解] 圆柱的母线的长等子圆柱的高丑.圆柱侧面的展开图是一个矩形，它的一边长等于丑，另一边的长就是底面圆的周长.因为母线与对角线的夹角是60°，所以圆柱底面的周长等于 Hg60°=/3H, ,'.2πr=√3H. 于是得 r√3H 2 由圆柱的体积公式；得 V=元r2h=( 答：圆柱的体积是 图342 图343 例2. 设矩形的一边长为a,另一边长为b,分别以a和b为轴，旋转所成二个圆柱，求它们的体积之比.[解] 设如图3·43中，圆柱AB1是以边长6为轴旋转一周 而成的，圆柱BA1是以边长为轴旋转一周面成的.现在 依照圆柱的体积公式，得 圆柱AB1的体积 VA=mb2a, 圆柱BA1的体积 VB=aa2b, VAba 9waba 0240◆ ==========第253页========== 答：它们体积之比为b:a,也就是半径大的圆柱的体积大 例8 设圆柱的全面积为一定值2ra2,试求其体积为极大时的值.[解] ·设圆柱的底圆半径为，圆柱的高为y,又它的全面积为2ra2, 则圆柱的全面积应是： 图34 S全=2ry十2元x2=2sa8 即 y十c2-a2, (1) 又圆柱的体积为V,则有 V=元xy. (2) 今由(1)得 y=a- (3) 以(3)代入（②）， V=元c(a-x2). (4④) 今由(3)知，不能大于a,于是由(4)的两边平方，得 V9=m2x2(a2-c2)9. 面V与V同时为极大，因x2与(a-)的和为一常数a2所以一定，就是 +2+- 2 2 所以当 2-Q2-g2 ·2 即 化=一 2Q? 3 2a g=ー W/3 W3 •241· ==========第254页========== 时，圆柱的体积 V-way-a.2,2a_2r√/3a2 3√/3 9 为极大， 从上述结论可知全面积为一定值的圆柱中，其高等于底圆半径的2倍时，圆柱的体积为极大。 习题 1.圆柱的底面不变，要它的体积扩大倍，那末它的高应当扩大多 38 少倍？ 2.圆柱的高不变，要它的体积扩大倍，那末它底面的半径应当扩大多少倍？ 3,已知圆柱的侧面积是S,底面的周长是C,求它的体积 4.已知圆柱侧面的展开图是边长为a的正方形，求这圆柱的体积. 5,正六棱柱形的铅笔，长18cm,每个侧面的宽是4毫米，铅心是圆 柱形的，它的直径是3号毫米，如果木材的比重是0.7克/em3. 问制作这种铅笔144支的木材重量是多少？ 6,圆柱的高和底圆的半径的和等于一定量a,试求其体积为极大 的圆柱 提示：设底圆半径为心，圆柱的高为，则圆柱的体积7等于πx,但题设圆柱的高和底圆半径的和为定量a,即x+y=4,再以y=4一x代入体积公式得V=rx2(a一c),而x与(a-x)的和等于常数a,以 下可参照本节例3的解法，即可解得图挂的极大体积为2] §39圆锥的体积 当一个圆锥的内接正棱锥的侧面数无限增加的时候，这楼锥的体积的极限叫做圆锥的体积。 定理 圆锥的体积等于它的底面面积和高的积的三分之一. [已知] 在圆锥S一ABC中，底面积是S,高是h,体积是V。 0242· ==========第255页========== [求证] V-1Sh. 3 [证] 设图3·45中，内接于圆锥的正棱锥的底面面积为S、 高为，棱锥的体积为V. 则有 -言% 当这内接棱锥的侧面面数无限增加时，它的底面面积”的极限就是圆锥底 圆面积S,而它的高不变。因此言S方 图345 的极限，就是寻S%,P”的极限就是卫，故得 V-1Sh. 推论 如果用”、h和V分别表示圆锥的底面圆的半径、高和体积.那末 例1 已知圆锥轴截面的面积为27.9dm的等腰直角三角形，求这圆锥的体积。[解] 作圆锥的轴截面（如图3：46），又 SA=SB,∠ASB=90°，S0L等分 AB,并设SA=L,AO=T=SO ·.·0A=0S, 图3.46 V.--0A0S-풍0A 今0A2=27.9dm3. .Va=器×27.9W27.9≈154(dm. 答：圆锥体积约等于154dm3. 例2 全面积为一定量匹a2的许多圆锥中，试求其中体积为极大的那一个圆锥。 ●243· ==========第256页========== [解] 设如图3.47所示.圆锥的底圆半径为心，它的高为y, 全面积为匹Q2,则圆锥的体积为 πx2y. (1) 又圆锥的全面积为 S全=匹c√x2+y+元x2=元a2,化简，得 图347 x2(x2+y)=(a2-x2). (2) 就是 c2y2=a4-2u2x2 上式两边都乘以，得 y2=x2(a4-2a22), 再把等式右边提取2a2的因式，得 y-22(-） 面与（受-公）的和为一常数受是一定值。且的与 y同时有极大，故当 Q-Q3心 即当 2,タ=√2a 时，圆锥的体积 V-V2 12 a8 为极大值. 例8 圆锥的高和母线的夹角是B,底面圆内一条长为α的 弦所对的圆心角是，求这圆锥的体积，[解] 在圆锥S一ABC的底面圆：O内（图 3·48),AB=a,.∠AOB=a,作OM⊥AB, 则AM=受，∠A0M=受，在直角△40M 中。 图348 ·244· ==========第257页========== 2 u r=- Ssin 在直角△AOS中，已知∠AS0=P, .圆锥的高乃=retgB=actgB 2sin을 因此，得圆锥的体积 actg B 2sin气 =匹a8ctgB24sin3 a 2 waotg B答：l 圆锥的体积是 24 sin3 a 2 例4 求证：圆锥被平行于底面的截面所截得的小圆锥与原来圆锥的体积之比等于截面半径与底面半径的立方之比 [解] 设如图3·49中，截面圆O1的半径为 r',OB=r,S0=h,S01=h.因为 △SO1B1∽△SOB. 图349 1 圆继S0:及的体积_言r, 圆锥S-OB的体积V匹rh1 以代替上式右边的会，则得 V ク3 ·245· ==========第258页========== 题 1.圆锥的底面直径扩大3倍，并使它的体积不变，那末它的高应当 39 缩小几倍？ 2.圆锥的高扩大4倍，并使它的体积不变，它的底面直径应当缩小几倍？ 3.圆锥的底面半径为10cm,母线和底面的夹角是60°，求它的侧 面积和体积. 4.一个倒圆锥形容器，高10cm,底面直径是12cm,先装满液体，然后把液体倒入底面直径是8cm的圆柱形容器内，求液柱的高. 5.一个圆锥侧面的展开图的半径为9cm,圆心角为240°的扇形， 求这圆锥的体积 6.一个圆锥的底面半径为五，高是，平行于底面的截面，把这圆锥截成两个等积部分，求这个截面的半径，并求顶点到这截面的距离 7.已知圆锥的体积为9x√3cm3,顶角是60°，求这个圆锥的高和它的侧面积 8.侧面积为一定量α的许多圆锥中，试求其体积为极大的那个圆锥 [提示：可设圆锥底圆半径为￠，它的高为y,侧面积为πa2,则圆锥的侧面积为匹√2+y=a2,把上式两边平方并化简，得 x2y2=a4-x4, 又体积 7-号y. 今xy与y同时为极大，因此先把上式两边乘以x,得 2xy2=x2(a4-c4), 再把它两边平方，得y=x4(a4一)，以下可参照本节例2的解法，不难求得这圆锥的高等于其底圆半径为一边的正方形对角线的长时，它的体积为极大，门 §310圆台的体积 前面已经讲过，一个圆台可以看成是一个圆锥由平行于其底面的截面截去这个圆锥的余下部分.因此圆台的体 ·246· ==========第259页========== 积是原圆锥和截去圆锥的体积之差， 定理 圆台的体积等于三个圆锥的体积之和，这三个圆锥的高都等于圆台的高，而它们的底面积分别等于： (1)圆台的下底面面积；(2)圆台的上底面面积； (3)圆台上下底面面积的比例中项 [已知们 在圆台中，上下底面的面积分别是S1和S, 高是，体积是V 图3.50 [求证] 吉b(S+S+√SS). [证] 我们把截去的圆锥补充好，如图3·51中的圆锥P一S. 并设S1到顶点P的距离为x。因此 v=子+剑8-言， =寻S+寻z(因-. (1) 现在我们设法把(1)式右边的：用已知量h、S和S1来表示它.在圆锥P一S 中，S1平行于S, =(飞+) S1 3 把等式两边同时开平方，并取正值，得 √Sh十 图351 S1 再把等式两边的前项减后项比它的后项，则得 §-S=五 VS1 将等式左端的分子和分母同乘以（√S十√），得 S-S h S2+√S1花， 即 0247:· ==========第260页========== x=b(S,+√SS1) (2) S-S 今以(2)代入(1)的右边，就可证得 V=품(S+8:+/55). 推论 如果用r1、r、h和V分别表示圆台的上下底面半径、高和体积，那末-空（叶+r》. 〔注意〕 在公式V-(++)中，知果1=那末这 公式成为V=πh,这就是圆柱的体积公式；如果设T1= 0,那末这公式成为V一宫n%,这就是圆锥的体积公式.例1 体积为52om3的圆台，它的上底面面积是下底面面积的九分之一.求截得这圆台的圆锥的体积。 [解] 作这圆锥的轴截面如图3.52，设010=b,PO1=心，上底面O1的面积为a,下底面O的面积则为9α，先代入圆台的体积公式，得 图352 配=合a+9a÷3), 即 b156 13a x2 又 9a(h十)1 等式两边同时开平方，取正值得 1父. 8=九+0 今圆锥的体积 ·248.● ==========第261页========== V=9a3h=1.9ah. 22 再以156 13a代式中的h,则有 V=19a156 2 13a =54(cm3). 答：这圆锥的体积等于54cm8. 例2 设圆台的体积等于一圆柱体积的一半，这圆柱的底等于圆台的下底，高等于圆台的高.求圆台上下两底面积的比值（精确到小数第三位）. 图3.53 [解] 设如图.圆台上底面面积为b,下底面面积为B,高为h,圆柱的底面积为B,高为h.则圆台的体积为 V。-音(+B+V丽. (1) 由题设圆柱体积是圆台的2倍，因此有 Bh=(b+B+√bB). 3 (2) 把(2)约简并整理，得 2b+2/bB-B=0, 各项除以2B,得 음+-令√会-头代入上画，得 g+g-受-0， •249· ==========第262页========== 解之，得 y=1±√3 2 其中-1√3 2 不合则删去， -8-(1-2 =2-1.732_0.268 2 ≈0.134. 2 答：圆台上底面积比下底面 积的比值约等于0.134， 例3 求一个以正六边形的一边为轴，旋转一周所成的旋转体的体积 [解] 正六边形ABODEF以一边AF为轴旋转一周，所得 的旋转体如图3·54(2). (1) (2) 图354 在正六边形ABODEF中，过点B、D,分别作BHL AF、EGLAF.连结AC、DF. 设旋转直角梯形AHBC和FGED,所得圆台的体积 为VC和VDE;旋转直角三角形ABH和FEG,所得圆锥 的体积为VAs和VE;旋转矩形ACDF,所得圆柱的体积为VcD. 在直角△ABH中，已知AB=a,易知∠ABH=30°，所以 ·250· ==========第263页========== AH-GF-去4B克a, BH-EG-4Bcos30°= 2. 而 40=DF=2BH-2×a=√8a. 2 于是，所得旋转体的体积 V=VEO+VDE+VCD-VAB-VER 공()-()+3a] +gm[(2)°+(8a+as] +(Wea-3(a)°g 答：所得旋转体的体积为号 〔注意) 多边形围绕着某一条直线旋转，在求所得旋转体的体积时，常把它分成几个圆柱、圆锥、圆台，然后求出它们的和差，而对于原多边形来说，即把它分成几个矩形、直角三角形、直角梯形，使它们之面积的和差正好等于原多边形的面积，这就需要过原多边形的各顶点作轴的垂线.本例即 是过点B、C、D、E分别作轴AF的垂线，把六边形 ABCDEF分成两个直角梯形AHBC和PGED、两个直 角三角形ABH和FEG、一个矩形ACDF,而 S4 BODER=S4HBC-S4Ba十SAODFT十SRGED-SRBG. 1. 习题 已知一圆台的两个底面半径分别等于3cm和5cm,它与另一 310 个和它等高的圆锥的体积相等，求这个圆锥底面半径的长。 2.圆台两个底面半径分别等于”、五，它的母线与下底面的交角等 42514 ==========第264页========== 于45°，求这圆台的体积. 3,圆台两底半径分别等于？、五，作平行于底的截面将圆台的体积两等分，求这截面的半径， [提示：设V是截得该圆台的原圆锥，既然载面 圆O2将圆台的体积二等分，不妨设此两部分的 体积都为？，并设以圆O1为底的圆锥体积为P. 如果截面的半径为x,那么 P r P+Q+Q R3 PIQ3 P+Q 3 将上两式相加，即可求得.] 4.圆台的高是8cm,母线长10cm,下底面的半径是上底面半径的3倍，求这圆台的体积. (第3题) 5.圆台的两个底面面积的比是1：4，母线长10cm,并且它和底面的夹角是60°，求这圆台的体积 中2 6,圆台的体积是21000元cm3,它的高是30cm,并且下底面的面积是上底面面积的16倍，求它的上底面的半径 7.一个熔矿炉的纵断面如图所示，它的内部是两个共底的圆台，求它的容积（图中所注的尺寸是近似 .0 值，单位是米)： 中25 8,熟铁铆钉有圆柱形的钉身及圆台形的钉头，圆柱的底面直径是3cm,高是9.5cm,圆台的上、下底 (第7题) 面直径分别是3cm和5cm,高是1.5cm.已知熟铁的比重是 7.85g/cm3,求这铆钉的重量. 9、以圆台下底面为底面，上底面的圆心为顶点，作出一个圆锥；已知这圆锥的侧面将圆台的体积两等分，求这圆台的上下两个底面半径的比. 提示：设圆台上、下底面半径分别为"和五，高是九，由题意可得 품h·(++2),由可出] 10.菱形的较长对角线为d,锐角为a;以过菱形长对角线的一端而 平行于短对角线的直线为轴，将菱形旋转一周，求所成旋转体的体积 11.已知圆台的两个底面半径分别等于4cm和22cm,求与这圆台 ·252◆ ==========第265页========== 等高并且体积相等的圆柱的底面半径。 12.圆台的两个底面半径之比是1：4；今将此圆台的高三等分，并过 各分点作两个平行于底的截面，求这圆台被分成三部分体积的比. [提示：设圆台上底面半径是”，下底面半径是4r,那么两个平行载面的半径分别是2m,3r.] 13,圆台两个底面积的比为1：4，母线长乙，母线与下底面的交角为 ,求这圆台的体积 [提示：可知圆台两个底面圆半径之比：R=1:2, 而R-r=lcosa、即r=lcosa.同时，h=?sina.] 14.梯形的一腰与下底成α角，这腰的长与两底 的比是2：1：3；设这腰的长为a,求梯形以这腰为轴旋转一周所成旋转体的体积. (第14题) [提示：过D、C作轴AB的垂线D、CF.所求旋转体的体积 V=Vora+VroDE-VADE. 而 AB=aAD-分、nG-是4， 于是D形、CF之长可求出.] *15.△ABC的两边分别等于b、c,.夹角为a.以过a角顶外部而与 b、c两边成等角的直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的体积. 球、球的截面和切面 §311球 将半圆的直径AB作为轴，则这半圆旋转一周所成的 图形称为球 在球中，AB的中点O是球心.半圆 弧ACB旋转所成的面称为球面.连结球 心和球面上任一点的线段称为球的半径.同 一球的半径相等、 图355 ·253· ==========第266页========== 通过球心而端点在球面上线段称为球的直径.如图 3·55中的AB和CD都是直径，同一球的直径相等. 球可以记作“球O”, 我们知道，球面上任一点至球心的距离相等，且等于它的半径之长.因此，到球心距离等于球半径的点，都在球面上；到球心距离小于球的半径的点，都在球的内部；到球心距离大于球的半径的点，都在球的外部 §312球的截面和切面 定理1 一个平面截一个球，所得的截面图形是一个圆 因为截球的平面可能通过球的球心，也可能不通过球的球心，因此要分下面的两种情况分别加以证明[证] (1)设平面M通过球心0（图3·56），并设A、B、C 为平面M与球面的交线上任意三个点.在平面M内连结 AO、BO、CO,因为AO、BO、CO,都是球O的半径，所以 AO=BO=CO,因此交线是一个圆，它的圆心是球心，它的 半径等于球的半径 图356 图357 (2)设平面M不过球0.（图3·57）.自球心0作 OO1垂直于平面M.设A、B、C为平面M与球O的交线 上任意三个点，连结A0、BO、CO,因为AO=BO=CO,所 以它们在平面M内的射影AO1=BO1=CO1,因此平面M 与球O的交线是一个圆，它的圆心是球心O到平面M的 垂线的垂足O1;如果用R、"分别表示球的半径和它的截 ·254· ==========第267页========== 面的半径，d表示由球心到截面的距离，那么 r=√R-d 由此可得出有关球的截面的如下一些性质： (1)d=0,这时截面过球心，所以r=R.也就是说，这时的截面的半径最大，这个圆称为球的大圆 (2)d=R,这时r=0,这时的截面圆缩成一个点. (3)与球心距离相等的截面，所截得的圆相等(④)与球心距离不等的截面，所截得的圆不等；距离球心较近的截面所得的圆较大 上述的四条性质，可以应用公式"=√R一亚来加以 证明. 如把地球近似地看成是一个球，那末地球仪上的经线(通过南北极的大圆)都是大圆弧（图3·58(1）)，纬线（垂直于过南北极那条直径的平行平面所截得的圆)只有赤道圆是大圆弧，其他的都是小圆弧（图3·58(2）) 北极 6080~北经0 80 40 20 0赤道 20 409 0 60 南极 60南极00 (1) (2) 图358 上面已经知道，当截面离球心的距离d=R时，截面圆 就缩成一点，这时截面M和球O 只有一个公共点A(图359). 10 和球只有一个公共点的平面 称为球的切面.这个公共点A称 为平面M同球O的切点，在切 图359 面M内经过点A的直线都是球上点A的切线. 。255· ==========第268页========== 定理2 垂直于球的半径且过半径外端的平面是球的切面 [已知] 平面M垂直于球O的半径OA,垂线足A在球面上. [求证] 平面M是球O的切面. [证] 要证明平面M是球O的切面，只要证明平面M内除 A以外的任何一点都不在球面上.在平面M内任取一点 B,连结线段OB.因为OA是平面M的垂线，OB是平面 M的斜线，所以OB>OA.因点A在球面上，所以点B在 球面外；也就是说，平面M除A以外的任何点都不在球面 上、即平面M与球面只有一个公共点A,所以平面M是球 的切面。 我们还可以证明下面的定理3，它是定理2的逆定理， 定理3 球的切面垂直于过切点的球的半径. [证] 已知平面M是切面，A为切点（图3·59）.于是，在平 面M内除点A以外所有的点都在球面外，也就是说，这些 点到球心O的距离都大于点A到球心的距离.即线段OA 是球心O到平面M的最短距离，所以OA垂直于平面M. 例1 过球面上任两点，可以作这个球的几个大圆？ [解] 首先考虑这两点在球面上的位置.设这两点不是球直 径的两个端点[图3·60(1)]，那么，过这两点和球心O,能 且只能确定一个平面，这平面和球面的交线即是该球的大圆，也就是说，过这样的两点，能且只能作一个大圆 (1) (2) 图360 如果这两点是球直径的两个端点，那么过这一直径的端点所有的圆都是大圆（图3·60(2）)，所以过直径的两端 ●.256· ==========第269页========== 点可以作无数个大圆. 例2 在半径是25cm的球内有一个截面，它的面积是49xcm2,求球心到这个截面的距离（图3.61）.[解] 过球心O作截面的垂线，则垂足M即是截面圆的圆 心.点A是OM上任意一点，连结OA、MA,'则△OAM 是直角三角形 既然圆M的面积等于49xcm2,所以 元AM3=49, ∴.AM=7cm. 前已知OA=25om,则球心到截面的距离 0M=√/O42-A1M产=√252-72=24. 答：球心到这截面的距离是24om. 图381 图3.62 例3 A地位于北纬18°，由于地球的自转，在一小时内A地 转了多少路程（地球的半径约是6370公里）？[解] 如图362点0是地球的中心，OA是地球的半径；M 是北纬18°圈的中心，AM是北纬18°圈的半径，OM是地 球球心到北纬18°圈的平面的距离. 在直角△OAM中， ∠OAM=∠AOB=18°， ..AM-=A0.c0s18°=6370×0.9511≈6059. 因地球自转一周的时间是24小时，A地在1小时内转 过的路程，就是 2×π×6059≈1586. 24 ·257· ==========第270页========== 答：A地在一小时内转过的路程 约等于1586公里， 〔注意) 本题只考虑地球的自转，这就可近似地看作球O绕轴 OM的自旋；所转过的路程指的是地面路程，并不是两点间 距离 例4 已知球O的半径是48Cm,它的切面M内的一点A与切点T的距离是14cm,求点A到球面的最短距离.·[解] T是切点， OT⊥平面M, .OTAT. 在直角△OAT中， .·0T-48cm,AT-14cm, .·.0A=/0T9+AT=√/482+142=50. 设OA与球面相交于点B,则AB即为点A到球面的 最短距离，所以 AB=0A-OB=50-48=2. 答：点A到球面的最短距离是2cm. 50 图3.63 图364 例5 球面上两点间的大圆劣弧的长称为两点的球面距离，已知球面上两点A与B的球面距离是5rcm,过这两点的 两条半径间的夹角∠AOB是50°，求这个球的半径（图 3.64). [解] 过球O的半径OA和OB作平面，则所截得的圆即为 球O的大圆，在这圆上，已知 ∠A0B=50°，AB=5xcm; ·258· ==========第271页========== 设球的半径为R,由平面几何学中孤长公式可得： ,R-18. 答：这个球的半径是18cm. 与题 1.画一个球的图形，并且在这球上画出两个和球心距离不相等的 312 小圆。 2.半径为13cm的球面上有A、B、C三个点，每两，点间的距离（注意：不是两点在球面上的距离)是AB=6cm、BC=8cm、AC=10cm,求这三点所在的平面和球心的距离. [提示：△ABC是直角三角形.] 3。过球半径的中点，作一个垂直于这半经的截面，求这个截面圆面积与大圆面积之比. 4.地球仪上两点间的球面距离等于5cm,这地球仪的半径等于 4.7cm,求这两点与球心连结线的交角. 5.A是直径为25cm的球面上的一点，已知这球的一个截面圆上的所有的点到点A的直线距离都等于15cm,求这截面的面积. 6.两个平面同时与球相切，两个切点的球面距离是70em,这两个平面相交成120°的二面角，求这球的半径 (第6题) (第？题) 7.求证两个球的交线是一个圆 [证：设球O和球O1相交，在交线上任取一点A,过点A和球 心O、O1作平面，这平面将两个球分别截成两个大圆（如 图).· 连结A0、A01及O01.在△A001中，自点A作AP⊥O01.因 为OA、O14都是球的半径，它们的长一定，00的长和位置 也都一定，所以△A001的形状和大小不因点A在交线上 位置的改变而改变.因此△AO01一边O01上的高AP的 长是定长，OO1上的点P的位置也固定. +259● ==========第272页========== 根据“过直线上的一点而与这直线垂直的直线，都在过这点垂直于这直线的平面内”（§113）的性质，在交线上各点到 O01的垂线足是定点P,所以交线上各点在同一平面内，且 它们到点P的距离都等于定值AP,所以两个球面的交线 是以P为圆心、AP长为半径的圆.] 8.半径长都是R的两个球相交，其中一个球的球心在另一个球的 球面上，求两个球面交线的长. [提示：两个球面的交线是一个圆；过这两个等球的球心作截面（如 图)，那么所求圆的半径是△A001一边001上的高.] 0 (第8题) (第9题) 9.对于圆柱、圆锥和圆台，为什么可以分别作它们的外接球？在这 三个旋转体中，是不是都可以分别作它们的内切球？ [提示：可以从平面几何中圆的内接多边形与外切多边形的性质来 考虑.例如，在等腰三角形VAB中，VO⊥4B.设点O1是△VAB的 内切圆的圆心，以V0为轴将△VOB旋转一周，所得到的即是圆锥 与它的内切球.很明显，圆柱、圆台（它们的轴截面图形不一定有内切圆)不一定可以作出它们的内切球。但是，圆柱、圆锥和圆台一定可以作它们的外接球.] 10.已知一圆锥的高为h、母线长Z,求这圆锥的外接球半径.提示：作圆锥的轴截面，这轴截面图形的外接圆半径就是圆锥外接 球的半径，并设此外接圆半径为R,作OM⊥BC,则 △DCBc∽△MC0, =含，R=易] (第10题) (第11题) ·260 ==========第273页========== 11,已知一圆台的母线长13cm,在这圆台中有一个半径为6cm的 内切球，求这个圆台的体积 [提示：作圆台的轴截面ABCD,那么这截面图形（等腰梯形）的内 切圆就是圆台内切球的大圆.由圆外切四边形的性质知道， AD+BC=AB+DC,BC-AD=2GC, 从而可分别求出圆台两个底面的半径.]12、求证：球的两个大圆互相平分 13.一个球的半径是18m,经过球面上一点作一个平面，使之和经过这点的半径成45°角，求这个平面截球所得截面的面积. 14.在南纬80°上有A、B两地，它们的经度相差60°，求这两地间 的纬度圈的劣弧的长（地球的半径约为6370公里）. 15.在半径是？的球O的球面上有两点M、M,半径OM和OW的 夹角是n°(n<180),求M、W两点的球面距离. 16.一个平面和半径是R的球相切，切面内一 点A和球心的连结线和切面所成的角是 a,求点A到切点的距离和点A到球心的距离. 17.外切于已知球的多面体的体积，等于这多 (第17题) 面体的表面积与已知球半径的乘积的三分之一 [提示：将已知多面体的顶点分别与球心相连，将多面体的各面分别看作棱锥的底面，而球心看作棱锥的顶点，那么，已知的面体可看作是”个棱锥所组成，所求的体积也就等于”个棱锥体积的和，而棱鞋的体积等于底面面积和高的乘积的三分之一，] 球面和它的部分面积 §313球冠、球带 在§3·12中已经谈到，任何一个平面截一个球面，所得的截面是一个圆面；很明显，这个平面将球面分成了两部 •261· ==========第274页========== 分，其中球面被平面所截得的每一部分都称为球冠、如 图3.65，A一PQS及B-一PQS都是球 冠 这平面截球所得的圆（图中的PQS) 称为球冠的底，垂直于这截面的球的直径 被这个截面截得的线段（图中的AH及 BH)称为球冠的高 图3.65 夹于两个平行截面间的一部分球面（如图3·66的 M:NNM)称为球带，截得的两个圆（图中的PQS及 P1S1)称为球带的底，这两个平行截面间的距离（图中的 丑H)称为球带的高. 球冠和球带都是球面的一部分，都只是曲面，并不是立体 6a北寒带 2 北温芳 .0 热柜 31" 南温带 68 南有寒带 图3.66 图367 将地球近似地看成是一个球，在字宙飞船上所能看到的部分球面即是球冠.地球的北寒带和南寒带的地面可看成是球冠，面北温带、热带、南温带的地面可看成是球带（图367). 球冠和球带也可看作是一段孤绕这弧所在圆的直径旋 转一周而得的图形.例如半圆AMNB以直径AB为轴旋 转一周时（图366），这半圆上的弧AM和MN分别旋转 成球冠和球带 ·2620 ==========第275页========== §3·14球面、球冠、球带的面积 作半圆的内接正折线（图368中的ABC…F),以这 半圆的直径AF为轴，将这正折线旋转一周所得的面，当这 内接正折线的边数无限增多时，这个面的面积就逐渐趋近于一个极限，把极限值定义为球面积。同样，对于球冠和球带的面积，也相仿来定义， 定理 球面积等于它的大圆的周长和直径的积；或者等于它的大圆的面积的四倍. [已知] 球O的半径为R,球面积为S [求证] S=23R.2R=4R [证] 先考虑旋转成球O的半圆弧上的一正折线ABC…F, 设球心O到正折线ABO…F的每边的距离为a.自这正 折线顶点B、C、D、·等，分别向直径AF作垂线BB1、 CC1、…等（图368）. (1)以AF为轴，旋转AB一周，所得的面是一个圆锥 的侧面(3-68(1))，积Sдв=π・BB1AB 因为OM AB,OM=a,所以 SAв =・BB1・AB=2・AM・BB1 因为△ABB∽△40M,所以绕=4B AM' OM·AB1=BB1AM, 因此 S4B=2r·AM·BB1=2ra·AB1 (2)以AF为轴，旋转BC一周，所得的面是一个圆台 的侧面（图3.68(2）)，它的面积Sc=π(B.B1十CC1)·BC. 自点N作NN1⊥AF,那末 So=匹(BB1+OC1)·BO=2r·NN1BC: 自点B作BG⊥OO1,因△CBG∽△ONN1,故 ·263· ==========第276页========== (1 (2) (3) 图368 BO BG ON NN1' 即NN1BC=ON·BG.而ON=a,所以 Sв =2・NN・BC=2ON.BG=2πa・B1C1. (3)假使CD‖AF(图368(3)，以AF为轴旋转CD 一周，所得的面是一个圆柱的侧面，它的底面半径DD等 于弦心距OS=a,它的高为CD1,.所以 SoD=200D1DD1-2a0Dii 同样可以得到： 旋转DE所得的面积=2ra·D11; 旋转F所得的面积=2ca~E1F. 把上面旋转正折线ABC…F各边AB、BC、CD、…、 BF所得的面的面积相加，那么 旋转ABC.…F所得的面的面积=2πa·AF当内接正折线的边数无限增加时，它的边心距α逐渐趋近于球的半径，同时旋转内接正折线所得的面的面积逐 渐趋近手一个极限，这极限即球面积S,因此：.· S=2元R,2R=4rR2 〔注意〕 在上面定理的证明中，实际上也证得了圆柱、圆锥、圆台的统一的侧面积公式：“如果圆柱、圆锥或圆台的高是九， ●264● ==========第277页========== 母线的垂直平分线在母线与轴间的线段的长是乙，那末这三种旋转体的侧面积都等于以？为半径的圆的周长和h的乘积。” 通过球面的面积公式的证明，也可以同样地求出球冠、 球带的面积公式。例如，考虑以直径AF为轴旋转AD-一 周所得的球冠，作出正折线ABCD(图3·69)，那么正折线 ABCD绕AF旋转一周，所得的面的面积 SABOD=20a(AB.+B01+01D1)=20a.ADi当内接正折线边数无限增加时，它的边心距逐渐趋 近于球半径R,旋转内接正折线ABOD所 B 得的面的面积逐渐趋近于一个极限，即球冠的面积S。如果球冠的高AD1=h,那么 C S骚=2xR.h 同样，也可以得出：球带的面积 S球带=2xRh. 式中h是球带的高 图3.69 一个平面截球面，把球面分成两个球冠，所以可以把球面看成由这两个球冠组成的，也可以看作是h=2R的球冠，这样，从球冠的面积公式也能推出球面积公式例1 求证：等边圆锥的全面积，等于以它的高为直径的球面的面积. [证] 设等边圆锥V一AB的底面半径为R,母线VA=乙， 则其全面积T为 图370 ·285. ==========第278页========== T=元Rl+元R2=rR(U+R). 因为等边圆锥母线长等于底面圆的直径，即？=2R,因 此： T=R.3R=8R2 在正三角形VAB中， V0=√/--/4R2-B-R√/3， 于是，以VO为直径的球面的面积 S=元·VO2=-3rR2 所以，等边圆锥的全面积，等于以它的高为直径的球面的面积. 例2 有两个圆柱，它们的高分别为飞及h',它们的侧面积之和等于半径为a的球面积，设它们体积之和为极小，则两圆柱的底半径各长如何？ 图371 [解] 设如图.两圆柱的底半径分别为x,y,高分别为五，h' 由题设它们侧面积的和等于球的面积（半径为），因此有 2wxh+2ayh'=4wa3, 即 xh +yh'=2a? (1) 再设两圆柱体积的和为πm3,则有 元x2h+r2h'=元m3, •288· ==========第279页========== 即 a2h+yah'-m3 (2) 由(1)得 y-2a2-ha h! (3) 今以(3)代入(2)，得 x2h+(2a2-ha) ん .b=m3. 把上式整理化简后，得 (hh'+h)c2-4a2hx+4a2-h'm3=0. (4) 欲使上边方程有实数解，则其条件为它的判别式4≥0，就是 4ah-(hh'+h)(4a4-'m)≥0， 即 m3≥4a+ ん+h 4a4 可知m的极小值为乃年，而对应于此的立值，可由（④） 求得 2a 化=+B, 从而求得 2a2 y=+3 由此可知所，求得两个圆柱的半径相等. 答：两圆柱的半径相等，都等于2. 例8 白知球冠轴截面上的弧为a(a<180°)，球半径为R,求这球冠的面积[解] 本题已知球的半径为R,欲求球 冠的面积，只须求出这个球冠的高. 在这球冠的轴截面上（图3·72）， 过圆心O作半径OA垂直于0D,则 ∠400-安& 图372 ·237· ==========第280页========== 于是，在直角三角形00B中，0B=R6a受&.则 h-0A-OB-R-Rc01 100)-2R sin 所以， 球冠ADC的面积=2xR·h -2aR2Rn7a=4min2是&答：这球冠的面积等于42i如1 例4 球带的两个底的半径分别是20cm和24om,球的半径是25cm,求球带的面积.[解] 本题可以分成两种情形： (1)·球心不在两个底面之间[如图3·73(1)]. 作球的大圆，和球带的两底交于AO和BD,ON是过 球心O的两个底面的垂线，侧M、N是两个底面圆的圆心， 连结OA、OB 因为OM垂直于球带的底面BD,ON垂直于球带的 底面AC,所以ON⊥NA,OMIMB. B: (1) (2) 图3,73 在直角三角形OAN和OBM中，已知 04-0B-25om,MB=24om,NA=20om, ·2884 ==========第281页========== 则 0M=√OB的MB=N√25-24'-7， 0N=/0A9-WA=25-20=15 于是 MN=0N-OM=15-7=8, 所以，这个球带的面积 S =2·Rh=2×25×8=400~1257 (cm2). (2)球心在两个底面之间[如图3·73(2)].同第一种情形，可以求出 0M1=7,0N1=15, 则 MN1=0M1+0N1=7+15=22. 所以，这个球带的面积 S1=2mRh1=2x×25×22=1100x≈3456(cm).答：这个球带的面积约等于1257cm2或3456om, 〔注意〕 由本例可以看出：在同一个球或两个全等的球内，具有相同的两个底的球带的面积不一定相等（只当一个底经过球心时才相等)，换句话说，如果在同一个球或两个全等的球内，已知球带的两底，它们所决定的球带不是唯一的，而可以有两个，它们的区别在于球心在或不在两个底面之间.因此，如果已知球的半径和球带的两底的半径而欲求球带的面积时，必须考虑两种情形。 习题 1.一个球的半径扩大5倍，它的面积是不是随之也扩大5倍？为什 314 么？ 2.半径为R的半球，它的全面积是不是等于2m? 3.火星的直径约为地球直径的一半，它和地球面积的比约为多少？ 4.木星的直径约为地球直径的十一倍，它的面积约为火星的多少倍？ 5,球带的一个底面是球的大圆，这球带的面积等于它的两个底面 圆的面积的和，球的半径为R,求这球带的高 6.求证：正方形绕它的一边旋转一周所得的旋转体的表面积，等于以它的一边为半径的球面的面积 7.球带的面积等于22.609cm,球半径为2.4cm求这球带的高. 。269◆ ==========第282页========== 8.要使一个光源照着半径为R的球面的三分之一，这光源应该距 离球心多少远？ 9.已知球带的两个底的面积相等，并且该球带的面积等于两个底的面积的和，求它的轴截面上的弧所含的度数. [略解：本题是求轴截面中∠AOB的度数，设这球带两个底面的半 径都是T,球的半径为R,∠AOB=a,球带的高OO2为h.从题设条件2x2=2cR五中可以求出 B=1+V②)h 2 h 于是 1c0S∠AO01=- 2 R1+√W2, 1 sin2=o8 ∠40=+ーV-1, ∴.a≈4856'.] (第9题) (第10题) 10.设法量出篮球的直径，并计算它的面积. [略解：用圆规在篮球上任意作一个圆，并在这个圆上任取三点A、 B、C,用圆规量出AB、BC、AC的长，再以此三边长在平面内作 △A1B1C1,并作△A1B1C1的外接圆O1.圆O1的半径（象O1B)就是 截面圆的半径.弦MB的长可用圆规量出.用O1B、MB分别为直 角边、斜边作直角三角形MBO1,从而作出直角三角形NBM,那么 MN为这个球的直径.] 11.地球的半径约为6370公里（取π≈3.1416，并以万平方公里为 单位).求 (1)地球的面积； (②)在北极圈以北的球冠形地面的面积； (3)北温带的面积； ◆270● ==========第283页========== (4)热带的面积， 12.半径是5cm的球，被一个平面截得的截面半径是3cm,求所截 得的两个球冠的面积. 13.一个弓形的弧是120°，半径是R.以过弧的中点的半径为轴， 将这弓形旋转一周，求所得旋转体的全面积 [提示：所得的旋转体的全面积等于一个球冠的面积加上它的底面积.] 14.测定材料的硬度，可以用标准钢珠放在材料上，加上一定的压力 P(用kg做单位)，使材料表面留下球冠形的凹痕，如果凹痕的面 我是S佣mm2作单位)，那么这种材料的硬度就可以用号（以 kg/mm作单位)来表示 如果所用钢珠的直径约是10mm,所加的压力约是30×103kg,用卡尺量得凹痕的直径是4.2mm,计算这种钢材的硬度. (第14题) (第15题) 15.在半径为10cm的球内，以它的直径作轴，钻一个直径为12cm 圆柱形的孔，求剩余部分的全面积. [提示：剩余部分的全面积是球面积减去两个球冠的面积再加上圆柱的侧面积。本题也可以直接求球带的面积与圆柱侧面积的和的方法来解.] 16.作半径为R的球的截面，如果球冠的面积与这截面面积的和为 S,求球冠的高， [提示：如果设该球冠的高是九，那么截面的半径 r=√R2-(R-h)', 于是球冠的面积和截面圆的面积皆可表出，由题设条件布列方程，八中解出h即可，] ·271· ==========第284页========== 球和它的部分体积 §315球扇形 §3·11已经谈到，球是由一个半圆绕着它的直径旋转 一周而形成的儿何体。而半圆是一个圆心角等于180°的扇形，如果半圆内一个圆心角小于180°的扇形绕着这半圆的直径旋转一周，所得的几何体称为球扇形 例如，图3·74(1)球扇形0一A'MA是由扇形MOA 绕着直径MN旋转一周而形成的；图3·74(2)球扇形 O一BA'BA是由扇形BOA绕着直径MN旋转一周而形 成；图3·74(3)球扇形O一ABA'B是由扇形AOB绕着直 径MN旋转一周而形成. 似 © (3) 图3.74 ·272◆ ==========第285页========== 在旋转过程中，扇形的弧（图374(1）的MA,或3.74 (2)的BA)经过旋转得到的是球面的一部分（球冠或球 带)，这个球冠或球带称之为球扇形的底面（图3·74(1）球扇形的底是球冠，图3·74（②）、(3)球扇形的底是球带)；球扇形的底面球冠或球带的高，称为球扇形的高，图3·74(1) 球扇形的高是MA1,图3·74(2)、(3)中球扇形的高是 A1B1. 3.16球扇形的体积 定理 球扇形的体积等于它的底面（球冠或球带）的面积和球半径的乘积的三分之一 [已知] 球的半径是R,球扇形的体积是V,它的底面的面积 是S. 求证] V-18R. 3 [证] 设球扇形的底面是球冠（图3·75）.作球面上的许多大圆孤，把这球扇形的底面球冠分成许多部分.当组成这些球面部分 图3.75 的弧长很短的时候，这球冠上每一小部分都可近似看作平面图形，于是以球心为顶点、以其中一个部分为底，就组成 一个近似于锥体的图形.如果把它看成锥体，它的高就是球 的半径R;设它的底面积是S1,那么这个锥体的体积是 音8，R. 我们把球扇形看作是这样许许多多个锥体所组成的，每一个锥体的顶点就是这个球的球心、每个锥体的底面积分别是S1、S2、Sg、…. 设这些锥体底面面积的和是S,那么球扇形的体积 ·278· ==========第286页========== P=骨：R+专sR+号8R+… -子R8+8gS+)-骨R8.如果组成球扇形底面的球冠的高是h,因为 S冠=2rRh, 所以 v-R.2g0Rh-是mB% 上面证明了底为球冠的球扇形的体积公式，希望读者用类似的方法证明底为球带的球扇形的体积公式 例 半径是13cm的球，被一个平面截得的截面的面积是25πcm,求以截得的两个球冠为底面的两个球扇形的体积(图3.76)， 图3.76 [解] 过球心O引直径BC垂直于截面，与截面交于点A,则 点A是截面圆的圆心.过直径BC作球O的大圆，与截面 交于DE.连结OD,则OD=13cm. 由圆A的面积为25xcm2,故圆A的半径 25r AD==5(cm).死 因为BC⊥截面，所以BO⊥DD,在直角三角形OAD 中： 0A=/0D2-AD=132-5=12. 于是 AB=0B-0A=13-12=1, A0=0A+00=12+13=25 所以，以球冠B一DE为底的球扇形O一DBE体积 =号xh4=号e×18*×1≈854 以球冠C一DE为底的球扇形O一DCE体积 ●274• ==========第287页========== -hax139x235-83 答：以截得的两个球冠为底面的两个球扇形 的体积约分别等于354cm8和8850cm3 习题 1.半径是20m的球被一个平面所截，截得的球冠的面积为36m2, 316 求以这个球冠为底面的球扇形的体积 2.一球带的面积是320cm2,高是8cm,求以这球带为底面的球扇 形的体积 3.一个球被一个平面所截，截得的两个球冠的高为h和丑，求以这 两个球冠为底面的两个球扇形的体积之比， 4.底为球冠的球扇形，球的半径为R,它的轴截面上的圆心角为 120°，求这球扇形的体积. 5.半径为R的半圆被两条半径三等分，将此半圆 绕直径旋转一周，求所得各部分的体积. 6.弦长是4的弓形，以平行于弦的直径为轴旋转 一周，求所得旋转体的体积. [解号形CDF以平行于它的底的直径AB为 (第6题) 轴旋转一周，所得的旋转体体积，等于球扇形O一DFC的体 积减去△OCD绕AB旋转一周所得旋转体的体积. △OCD以直径AB为轴旋转一周，所得旋转体体积是矩形 CC,DD以直径AB为轴旋转一周所得题柱体体积的号（其 理由请读者考虑)；球扇形O一DFC的高CD等于a,则： V-2aRPa2nOBPa 2ova(R-Op) 3 3 3 在直角三角形0CB中，R202=, 4 .V=2ma a2=ra3 346 答：所得旋转体的体积为g,] ·275· ==========第288页========== §37球的体积 定理 球的体积等于球面积和半径的积的三分之一， [证] 如果把球看成是圆心角为180°的扇形旋转而得的球 扇形，设球的半径为卫，球面积为S,那么把球看作球扇形 时，根据球扇形求体积公式，即可求得球体积 V-音R 在上面公式中，如果将球半径R或直径d来代替S,则有： ad, 球的体积公式，也可以由祖暅定理来证明 在图3·77中，平面P内有一个半径是R的球，和底面 半径是R、高是2R的圆柱 设点A是圆柱轴OO2的 中点.如果以圆柱上、下两个 底面为底面，以点A作为顶 点，那么在圆柱里有两个等底 图377 等高的圆锥。·现在来证明，圆柱诚去这两个圆锥后，剩余部分的体积，等于球的体积 显见，这两儿何体的高度同为2R.今任作一…个平行于 平面P的平面Q,和这两几何体相截.设球心到平面Q的 距离是d,平面Q截球所得截面圆的半径是√P一，那么这个截面的面积等于匹(R一d). 平面Q截圆柱的剩余部分，所得截面是一个圆环（图中 的阴影部分)，它的外面的圆的半径是R、里面的圆的半径 是MN,在直角三角形ANM中， ●2760 ==========第289页========== ∠ANM=∠NAM=45°， 所以MN=MA=d.因此这圆环的面积等于 元R2-rd2=r(R2-d2),： 这就是说，平行于平面P的任意平面截球和圆柱的剩 余部分，所得的截面面积相等. 根据祖胞定理，球的体积就等于圆柱剩余部分的体积；而圆柱的剩余部分的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，所以球的体积也就等于： V-aR,2R-2是RR-2-是w。tR3 例1 将直径为25cm及35om的两个铸铁球，熔成一个球，如果不考虑损失，试问这球的大小？[解] 设此球的直径为心，它的体积等于这两个铸铁球体积的和，即 π258 总十匹3B=必8 66, 3=253+353, ..≈39 答：熔成后的那个球的直径约等于39cm. 例2 已知球的半径为？，求这球外切圆锥的全面积为极小的那个圆锥 [解] 设如图球半径OA=?,球的外切圆锥 的底半径AC=￠，圆锥的高VA=y.并设它的全面积为xm,今圆锥的全面积为 元m2=元x2+iV0, 而VC=√+y,代入上式后约简，得 图3.78 m2=2+√/x2+y2, (1) 今知△VD0∽△VAO,因此有 ◆277· ==========第290页========== CA:OD-VA:VD. 就是 y √(y-)ー・ 两边平方化简整理，得 =U3 y~2・ (2) 故 9-2n+3y2-g-r)9 22+y2=2 -2r 因此 2(2+g)=2y(g-r） (y-2r)2. 现在把上式代入(1)，得 m3。ym3 +"%2= y-2ry-2m 就是 ry2-m2y+2rm2=0. 欲这个方程的根为实数，其条件为它的判别式≥0，就是 m4-8r2m2≥0， ..m2≥8r2 故知m的极小值为82.对应于这个极小值的y=4,x=√2r. 例3 三个球的半径之比是1：2：3，求证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍.[证] 三个球半径之比是1：2：3，于是，可设这三个球的半径分别是r、2m、3°. 最大球的体积是 4(3m）9=36rn3; 3 另外两个球的体积和是 4rr3+4r(2r）3=4r(r3+8r8)=49nw83 3 =12r3 3 3 所以，最大球的体积等于其他两个球体积的和的三倍. ·278· ==========第291页========== 习题 1.铅的比重是每立方厘米重11.4克，求1公斤重的铅能铸成多少 317 个直径是1厘米的小铅球？ 2.一个空心铁球的内直径是6cm,外直径是8cm,已知铁的比重是每立方厘米重7.8克，求这空心铁球的重量. 3,火星的直径约是地球直径的一半，求火星和地球面积的比以及体积的比，约是多少？ 4.木星的面积约是地球面积的120倍，它的体积约是地球体积的多少倍？ 5.铜球由于加热膨胀而使半径增加千分之一，求它的体积增加几分之几（精确到千分之一）. 6,把直径分别等于5cm、12cm和13cm的三个铅球，熔成一个大的铅球，求这大铅球的直径 7,球的半径为一定长，求球的内接圆柱的侧面积为极大的那个圆柱。 提示：设球半径为，内接于球的圆柱半轻为出，圆柱高为2.则 圆柱的侧面积为S=4πy.然而 x2十y2=2 故知 S=4rcV√g2-2, 上式两边平方，则有 S2=162x2(r2-o2), 但S2与8同时为极大，且x2与(”-x2)的和等于2是一定值.所以在x2=m2-x2,即 y-vir 时，内接圆柱的侧面积为极大，且其侧面积 s=4w.可rV2=4wr2.] 2 §318 球缺和球台的体积 用一个平面截球而得的球的部分（如图3·79中的 NBG)叫做球缺；截面BGE圆叫做球缺的底面，垂直于 截面的球的直径被这截面截得的线段NA的长叫做球缺的 ·278.· ==========第292页========== 高 用两个平行的平面BGE和DKF去截一个球，它们 之间所夹的球的部分叫做球台（如图中的 BGE一DKF)；两个平行的截面叫做球台 的底面（如圆BGE和圆DK)；两个平行 截面间的距离AC叫做球台的高 球缺和球台，可以由圆面的一部分（如 图379 图3·79中的NAB或ABDC)以直径NS为轴旋转一周 而得到. 计算球缺（如图380中的NBG)的体积，我们可以 求相应的球扇形(OBN)的体积与圆锥(OBG)的体积之 差.设球的半径为B,球缺的体积是V,高是几，底面的半 径为，并设hR时.同样成立=h(2R-h),于是： V球鼓A-6DB=V球嘉形0-0LB十VO-GDB 움"%-+'(-r) +号(2R-)(-)2 을--+- 同样，以R=6+受代入上式，又可得 7oae=2（+3r. 所以，不论hR,计算球缺体积的公式是同一个表达式： ·281· ==========第294页========== ”=(-)=a+8r9, 这就证得了定理的结论 球台的体积公式可以从相应的两个球缺体积之差来求得，下面我们来求球台的体积公式： 设球台的上下底的半径分别为r1和 T2,球台的高为h,球台的体积为V, [求证] V-容8+3x+9. [证] 如图3·82所示设球缺P一CD的高 图382 PN=h,体积为V2,球缺P一AB的高PM=h1,体积为 V.并设球的半径为R.所以 V-V,-V=m(B-含)-(R-含) R(-)一풍(0-) =π-h:R+AaR-+h+3 但直径PQ与弦AB和OD分别相交于M、N,且M 和N都是所在弦的中点，故有 r=h1(2R-hu),r=h2(2R-h2): 因此， R=i+促，R=-+隆， 2 此外，h2-h1=九.所以有 v-=h( +隆+程+促hithakz+h32 2 3 -3+3rg+(a,-A门. 即 V-容(8+3ri+. 例 一个球缺的高是球直径的。，这个球缺的体积是球 ·2820 ==========第295页========== 体积的几分之几？ [解] 设R为球半径，已知这球缺的高几等于球直径的10 即么一号于是这球缺的体积 ,=6(R-台)-π（得》°(R-君）14 375元R3 而球的体积 V=4oR3 3 于是 V1:y=14rR3.4rR3 3=7:250 375 答：球缺的体积等于球体积的250· 1. 习题 铆钉的头部是一个球缺，钉杆是一个圆柱，已知D≈64mm、 318 h≈24mm、d≈36mm,把铆钉铆过厚t≈20mm的钢板以后，使钉杆剩余部分正好能打成和头部的形状大小一样的球缺（如图)，求原来的钉杆的长度？ (第1题) 2.两面都是凸形的镜片，它的两面都是球冠形.球半径分别是10cm和17cm,球心距离是21cm,求这镜片的体积. 3.半径为5cm的球中有一个两底半径分别为3cm和4cm的球台，求这球台的体积（分两种情形考虑） *4.在半径为2cm的球内，以直径为轴钻一个圆柱形的孔，如果这孔的半径为1cm,求这个球剩余部分的体积.[提示：剩余部分的体积是球的体积减去圆柱的体积再减去两个球缺的体积.] 5.圆锥的高等于H,高与母线的交角为a,作一个 以圆锥的高为直径的球，求在圆锥外部的球的这一部分的体积. (第5题) ·283· ==========第296页========== 略解：作出这圆锥的平面截面（如图），PV=丑，∠CPN=&.设球 缺P一AKB的高PK为h,底面半径AK为T,球半径为R.在直 角△PAN中 AP=PN cosa=Hcosa,h=PK=PAcosa=H cos2a, AKPAsinaEcosina,R 于是，所求的体积 V-7-Aga-7er-a=h(R-弓吉r%=r(）9(侵-号Hasa)-号x(tlwowwsina9)Heo9a -cota(侵-寻cosa）-号2d] 答：所求的圆锥外部的球的一部分的 体积为合cosa] 本章提要 本章主要是叙述圆柱、圆锥、圆台和球等旋转体的性质，和它们的表面积及体积的计算公式；直观图的画法 1.概念和性质 ()旋转体-一一个面绕它所在平面内不通过它的内部的一条直线旋转一周而成的图形。圆柱、圆锥和圆台都是常见的旋转体，一个半圆绕它的直径旋转一周而成的图形是一个球，我们也称它为旋转体. (2)儿条重要的性质： ()平行于圆柱、圆锥、圆台底面的截面，所截得的截面图形都是一个圆； ()圆柱、圆锥、圆台的轴截面所截得的截面图形依次是一个矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些图形包含了高、 ·284· ==========第297页========== 母线长、底面圆的半径长等元素，对于计算它们的表面积和体积都很有用 ()一个平面截一个球，所得的截面图形是一个圆，通过球心的截面所得的截面图形是一个大圆. (v)球面上两点间的距离，是指这两点所在大圆的劣弧的长；如果这两点正好是所在大圆的直径两端，它们的距离等于半个大圆弧的长 2.计算公式 (1)对于圆柱、圆锥和圆台，如果以R(圆台用r、1)、h、?分别表示这三种旋转体的底面半径、高和母线，则 侧面积 全面积 体 积 圆 柱 2oRh 2nR(R+h) ar R2h 圆 锥 元RL 匹R(R+U) 3Rh 圆 台 (ア+r1 π（ァl+l+2+2） 3ah(r2+73+rr) (2)对于球的面积（球面的部分）和体积（球的部分），如果以R、d分别表示球半径和球直径的长，乃表示球冠、球带、球扇形和球缺的高，则： ()球、球冠和球带的面积公式： 球的面积：8=4rR2或者S=元d2.球冠的面积：S=2πRh球带的面积：S=2cRh. ()球、球扇形、球缺和球台的体积公式： 球的体积： V=.3R或者V-言a. 球扇形的体积： V=2πR% ·285· ==========第298页========== 球缺的体积： V=(B-号(+3) (其中h是球缺的高，是球缺的底半径).·球台的体积： V-动(31+33+h). 6 (其中T1和2是球台上下底的半径，h是球台的高.) 3.作图圆柱、圆锥和圆台的直观图的画法（§3.4）.可以看出，这种画法与棱柱、棱锥、棱台的直观图的画法不 一样，把三条轴0X、OY、OZ两两所夹的角都画成120°， 各对应点的坐标的长度都取得和原来的一样，这样画法不仅比较简捷，而且也很直观. 复习题三A 1.求证：圆柱或圆锥的切面垂直于它所过的母线和轴决定的平面。2,有一个圆柱，它的高是12cm,底面半径为5cm,设有一线段长13cm,它的两端点分别在上下底面的圆周上，求这线段和轴的距离以及它们所成的角. 3.某自来水厂设计一坐圆柱形自来水塔，它的全面积设计为150x平方米的钢板，要使这坐水塔有最大的容量，我们怎样定出水塔的高和底面圆的半径，才能达到要求，并算出水塔的容量提示：设水塔的高为飞，底面半径为丑，由题设水塔的全面积是150m平方米的钢板.所以2xR(h十R)=150m,又水塔的容积V= mR,由前式得A-亮-尼，再代入后式则得广=75R-mB以下再求节的极大值，即可得水塔的高和底面半径的长. 4.设圆台的母线长为1，它和下底面所成的角是%，并且母线A1A 垂直于它的轴截面的对角线AB1.求证这圆台的侧面积是 l2tg asina, ·286· ==========第299页========== (第4题) (第5题) 5.平行于圆锥底面的二个截面，把圆锥的侧面积截成相等的三部分，已知圆锥的高为3√3cm,求自圆锥的顶点到这两个截面的距离， 提示：相似圆锥的侧面积之比，等于它们的半径的平方之比.也等于它们的高的平方之比.设0=3V√3cm,VO2=h2,O1≈，因此 有Y2-整-星]3 2 注意以相似直角三角形的对应直角边为轴，旋转一周所成的 圆锥，叫做相似圆锥 6.已知圆锥的侧面积等于4，它的全面积等于4+b.求证它的母 线间的最大夹角为2a心in会 7.圆柱的底面半径是10cm,高是12cm,平行于轴的一个截面在底面内截得的弦等于底面的半径，求圆柱被这截面截去的体积. 8.在一个圆锥内，以它的底面作为底面再作一个圆维，小圆锥的高和母线所成的角等于，大圆 锥的高和母线所成的角等于B,又两个圆锥的 高的差等于h.试证这两个圆锥侧面间所夹的 部分的体积老石. (第8题) [提示：这两个圆锥侧面间所夹部分的体积V等于两个圆锥的体积 的差.设如图中的底面半径为".再用h、a和B来表示”.] 9.一个圆锥的体积为V,把它的高三等分，过分点作与底面平行的 两个截面，把圆锥截成三部分，求中间那部分的体积.[提示：相似圆锥的体积之比，等于对应高的立方比：] 10,已知圆台的体积等于以它的大的底面为底面并且与它等高的圆 柱体积的一半。求这圆台两底面面积之比， ·287· ==========第300页========== 11.求证：对于一个四面体，可以有一个外接球. 12.一球的外切圆台的两个底面半径分别是1和2(r1>r2),求： (1)球的面积；(2)圆台的母线和下底面的夹角. (第12题) (第13题) 13.一个倒圆锥的容器，它的轴截面是一个等边三角形，在这容器内注入水，并且放入半径是的一个球，水平面恰好和球相切，将球从圆锥内取出后，问水平面的高是多少？ 14.有相等体积的正四面体、正六面体、正八面体和球，它们的全面积哪一个最大？哪一个最小？ 15,球铁的体积是8”cm3,底面面积是5mcm2,求球的半径. 16.求证：(1)面积是的△ABC,以长等于w的一边BC为轴旋 转一刷，则所得的旋转体的体积，=专✉公、 (②)任意一个三角形依次以一边为轴各旋转一周，则所得各旋转体的体积和各边的长成反比例. 17.一个球台的底面的半径分别是6cm和4cm,它的高为2cm,求 球台的体积 [提示：设如图中，AB=6cm,CD=4cm,高BD=2cm,又AB和CD都垂直于NM.设OA=OC=x,OB=y. 在直角△AB0中，则有 x2=y2+36; (1) 在直角△CDO中，则有 x2=(y+2)2+16. (2) 解(1)和（②），得 y=4,花=V52 设球台的体积为V(ABDC),则有 V(ABDC)-V(OAC)+V(OCD)-V(OAB): 18,把边长为a的正三角形的一边延长一倍，由此端点()引延长线 ·2889 ==========第301页========== (第17题) (第18题) 的垂线(PQ),以此垂线为轴，将正三角形旋转一周，求所得到的 旋转体的体积. [提示：设如图，过A点作AM⊥BC.因为旋转△ABG所生成的体 积应等于两个梯形EABF和EACF旋转一周而生成的体积之差.] 复习题三B 1.今有一块圆环形的铁皮，它的内半径是45cm、外半径是75cm.今用这圆环形的五分之一，做一个圆台形水桶的侧面，这个水桶的容积是多少立方厘米？ 2.如果把地球看做半径为R的球，设A、B两地的纬度相同等于a 度，它们的经度相差B度(0°是（∠Ar0+∠BrO. 13,半径为1的球内切于圆锥，已知圆锥的母线与底面的夹角为20， (1)求证圆锥的母线与底面半径的和是 2 tg0(1-tg26) (2)求证圆锥的全面积是 2a tg20(1一tg2列3 (3)当日是什么值时，圆锥的全面积为最小？(8的值可用反三角函数表示) 14、已知球的半径为R,试求内接于球的正方体的体积. 15.今有两正方体，它们一组对边长的和为4，它们的体积之和为b3,如设a为 定量，而欲使b3为极小，则两正方体的边长如何？ [提示：设两正方体的边长分别为，，则x十y=4,两正方体体积之和为 x3+y3=b3, 今从前两式设法求得y=-b3 3a.再以心，y为新方程的两根，依根与系数的 关系造出方程 m2-am+ad-b3=0, Ba 再从方程的判别式4>0，可水得≥，从而求得当x=y=受时，3的极小值为空] 16,圆锥与所设圆柱同轴，且这圆锥外接于圆柱，试证这圆 锥极小时的体积为内接圆柱体积的是倍。 [提示：设圆锥的底半径为y,高为x,圆柱的底半径为，高为h.ˉ则有圆锥的体积 (第16题) ·293· ==========第306页========== V-32y 由于△VDN∽△VAM,故知 必-h ,即y= x-h 以之代入前式，得 3t3、23 (c-h)2’ 再设法求V的极小值，从而可求得当c=3h时，V的极小值为 9 πy% 以下就容易求得本题的结论了.] 17.内接于所设球的许多圆锥中，试求其侧面积极大值为 s3r2(r是球的半径). 18.今有同中心的两个球，其半径分别为1、2，设在这两球中心的同侧，且距离这中心为4及a+b之两平行平面截之。求证这两平行平面与两球面间部分之体积为b(r呈-). 总复习题B 1.求证内接于一个空间四边形的任何平面四边形的对边相交于这个空间四边形的对角线上.有无例外情形？ 2.求从一条已知直线外的一个已知点，向经过这条直线的所有平面作的垂线的足的轨迹 [提示：过这点且垂直于这直线的平面内的一个圆.] 3.过一个已知点作一直线和已知的两条异面直线都垂直. 4.试证明任何四面体总有一个内切球. 5。如果自球的外部的一个已知点P作球的任意割线PAB(其中A、B是和球 的交点) 求证PAPB是一个常数 [提示：过球心与割线PAB作一个球的截面.] 6.'如果在圆台内可以容纳一个内切球，那末这个圆台的母线等于两个底面半径的和， (第5题) ·2940 ==========第307页========== 7.求通过已知三角形的二个顶点的球的中心的轨迹. 8.由每边长为（的正方形的四个角截去相等的四个正方形，把四边的四个矩形折起来合拢成一无盖的匣子，如果要使这样的匣子的容积为极大时，问 四角截去的正方形的边长如何？ 9.一个正四棱锥，它的斜高与底边一半的长的和等于常数，试求证这正四 16V53 棱锥的极大体积为 375 10.一物体是由圆柱在两底加上等直径的半球组成，如果这物体的全面积为πa2.试求其体积为极大时，圆柱的高和底半径的值。 提示：当y=0,女=受时其体积为极大.] (第10题) 11.已知一球的半径为”，试求球的内接圆柱的全面积为极大时，圆柱的底半 径和高各多少？ 12.设球的半径为4，今以平行的两平面截球所生球带的面 积等于定量2rb,并使这两平面所夹的球台体积为极大，试求这球台的上下底半径的大小如何？ [提示：设如图，从球心O到两平面截面的距离分别为OM= (第12题) 心，ON=y,则从球带面积可知 2wa(x+y)=2ab,+y=6 然后应用球台的体积公式求极值.] 总测验题 (希在180分钟内完成) 1.求作一直线和两条已知的异面直线相交，并且平行于第三条已知直线。·[提示：过两条异面直线之一，作一平面平行于第三直线.] 2.如果两个平面分别垂直于两条异面直线4和b,则这两个平面的交线平行于异面直线a和b的公垂线. 3.求在已知平面内有公共端点并且和这个平面成等角α的相等线段的另一 个端点的轨迹 [提示：在和已知平面平行的平面内的两个圆，] ·295.· ==========第308页========== 4.在四面角V一ABCD中，如果∠AVB=∠AD,∠CVB=∠CVD,求证 二面角VB=VD 5.如果三面角V一ABC的面角∠AVB的平分线VD,若∠CVD是直角， 则∠CyD=(∠AvC+∠BVC. 6,在已知半径等于的球内，作内接于球的长方体，问这长方体的长、宽、高在什么情形时，这长方体的体积为极大. 7.已知矩形的周长为一定（设为2P),今以其一边为轴 旋转一周所成的圆柱，欲使这圆柱的体积为极大，则 D 矩形的两边如何？ 8.在四面体VABC中，过两对棱FA、BC的中点D、正 作平面使截棱VB于F,截棱AC于G,则直线FG 被直线D所平分. (第8题) [提示：如图.取AB的中点M,连结DM交AF于R.连结ME,连结RN,先 证点R是AF的中点，再证RN∥AC.] .296● ==========第309页========== 习题答案 第一章直线与平面 习题151.三点决定一平面.2，三点在一直线上，则有无数个平面. 3.因为空间4点，不一定在-个平面内.4C3=4×=10,5.决定 3个平面.6.同在一平面内，因为平行线都和一直线相交.8.(1)决定4个平面；(2)决定3个平面；.(3)决定1个平面。 习题1？1.不一定.2.因它的第四边过这平面内的二个点，所以一定在这平面内，对角线也是一样的道理.3.不一定平行.5.二个平面.6.仅 当一条异面直线经过相交直线的交点时有可能.《.其中AA1,A1B1,AD, DC,CC1,B1C1与BD1都是异面直线. 习题1.10. - -, (erzо= （，2， (вe-. 4으 b 习题1134.√+(b-c产. 习题11622a.4.1os0,6.30,又are如.7.绳子PA-10V区 3m,0A=10m,0B=10V m.PB=20V 3.m. 习题1.161.P点到正六边形各顶点的距离为2W√5cm,P到各边的距离 om,2.P到平面的距离为a,P到各边的距离为7a,4.S到 M的距离为20cm.6.CD≈9.2cm.7.∠A'CB=arctg√2.习题119 7.两条线段分别等于c2+a2-b,c2+b2-22c 2c .8.BD的射 影为120cm.9.两个平面间的距离是45cm.12.a=arc cos3 13.△BDE的面积是96cm2. 习题1218.BF=6cm.4.41°50'，b.CD=2a.6.CD=13cm. 8.中=l8°3'，9.中=arc6inV/in2+sin2B, 习题.125(1)1.射影长为6cm.2.射影的周长=c+cW1+os2a,射影 面积-2c40s,3.它和另一个平面所成角的度数为30°.4.中心到射影平面的距离=10+15+17=14(cm）. •297· ==========第310页========== 习题1.25(2) 1.(1)a(2)a;(3)√②2 习题1.26 3.这点到三面角的顶点的距离是3dm,5.第三个面角是60°. 6.垂线的长为√6cm 习题1·271.(1)能；(2)不能；(3)不能.3.(1)不能，因其面角的和大于360°；(2)不能，面角和大于360°；(3)不能，一个面角大于其余面角之和. 4.三直线不在同一平面内，因其面角之和小于360°，任两个面角之和大于第三面角.5，设斜线的夹角为a,则角a的范围是41°≤：≤93°. 复习题一A 1.(1),(2),(3),(4)都不正确.2.(1)距离为4，交角为直角；(2)距离为4，交角为直角；（③距离为竖d,交角为直角：（国距离为Y0,a548. 8.平面M和直线a平行，或者直线a在平面M内.4.AC与BD间的最 短距离为&，6.本题有二解交角9-ari血m,”,或者9=a0如%”. 8.V0=4.89.9.A0=19cm,BD=17cm. 复习题一B 1.CD=13em,或CD≈17.7.2.分点P离平面M的距离为na+mb m+n 3.10cm. 第一章测验题 1.(1)aW2;(②)2a.2.AR=√a2+b2+c.B.夹在两平面间的线段的长 为y米，4是直二面角 第二章.多面·体 习题22 1.一个多面体的顶点数和多面角数相等，棱数是各个面的边数 的和的一半.3.因为同一顶点的各个面角的和应小于360°，如果每个面角增大，则会减少它的面数。4，正四棱柱的对角线相等，它的四个侧面是全等的矩形.5.它们的相同之处：两底平行且全等，侧棱相等且平行.它们的不同之处：斜棱柱的侧棱不垂直其底面，侧面是平行四边形；直棱柱的侧棱垂直 ·298 ==========第311页========== 其底面，侧面是矩形；正棱柱的侧棱垂直其底面，两底面是正多边形，侧面是 全等的矩形.6.四棱柱有4(43》=2个对角面；五棱柱有5(53)=5个 2 2 对角面；n棱柱则有(”。3》个对角面。7。从四棱柱某一顶点出发，可引1 2 条对角线；从五棱柱某一顶点出发，可引2条对角线；从”棱柱某一顶点出发，可引(2一3)条对角线。四棱柱可引4条对角线；五楼柱可引10条对角线；n棱柱可引(n一3)条对角线.9.对角面的面积为S√2.10.第三个二面角等于55°.11.对角线的长等于√2a+h;对角面的面积等于haV√2. 12.截面的面积等于Q√2， 习题231.(1)长方体是直四棱柱，但不是正四棱柱，因为它的底面不一定是正方形；（②）正四棱柱不是正方体，因为它的侧面是矩形，而不是正方形； 3.它的对角线的长为5cm和7cm.4.它的对角线长分别为5cm和7cm. 9.梯形BED的面积等于号。2 习题2.41.（①）不一定是正棱锥，因为一个正棱锥除底面是正多边形外，所有的侧棱都应当相等；（②）不一定是正楼棱锥，因为一个正棱锥除铡棱相等外，还要底面是正多边形.2。(1)设侧棱和底面所成的角都是a,高等于飞，则顶点在底面的射影到底面各顶点的距离都等于C坞a,所以它是底面外接 圆的中心；(2)棱锥的侧面和底面所成的角都是B,并设高为，则顶点在 底面的射影，到底面各边的距离都等于cgB,所以这射影点是底面内切圆的圆心.3.它的离等于Y答a,6.面的面积等于V6-a 7.1√P+3+至.8。它的侧棱等于V原m,斜高等于5cm9。斜高约等于12.75cm,底面一边的长等于5cm,10.侧面和底面所成的二面角 为reo3.丑.(4)这个裁面的面积为 3 ;(②)截面和顶点的距离等 2。高方=24cm,18。另一个棱锥的藏面的面 17.这棱锥的高h=3cm, 习题251.是三棱台，应用相似三角形的比例关系，可以证明它的对应顶点连线的引长线交于一点.2.(1)P=(r一Yt)2+;(2)好=(d-)?+, 3=+a；④-明+（受）月；(”=+（会.4 3.高h= √c=6-0;斜高=号V4c2=(b-.4.高h2cm,6.斜高 -。√万；侧棱=6-4.8.虑面边长分别为10om和2m,7.中 ·29分 ==========第312页========== 截面的面积等于2.25cm2.8.对角面的面积为12cm?.9.截面面积等于16cm2.10.三角形A1BC和底面所成的二面角a等于30°；△A1BC的面积等于24cm2. 习题2？1.正方体的一条棱长为2m.2.正方体的全面积等于22. 3.它的侧面积等于2√M2+2Q.4.它的全面积等于188cm.6.全面积等于192+32v6≈270.37cm2.6.它的底面各边长为34cm、20cm和18cm.7.最少需要白铁皮83张.8.这三棱柱的侧面积为ab(√2+1). 9.对角线？与第三个平面的交角为45°.它的全面积为号(1+2W②). 习题281.四面体的全面积为a2√3.2.侧面积等于288平方厘米. 4.全面积为（√3+1）a.6.塔顶的侧面积约等于196.4平方米。7.本题有二解：(1)底边等于12cm,斜高等于8cm;(2)底边等于16cm,斜高等于6cm,8.三棱锥的全面积等于448平方厘米.9.这四棱锥的侧面积是 昌，10.正三饺锥全面积为学(V西+V). 习题2.91.正四棱台的全面积等于168cm2.2.正三棱台的侧面积为468cm.3.它的全面积=102√3+90V√15≈525.3cm2.4.正四棱台的上底每边长10cm,下底每边长20cm.5.两个底面的边长分别为4dm和14dm.6.棱台侧面被中截面分成二部分面积的比为5：9.？.这棱台的侧面积等于1920平方厘米.8.这棱台的侧面积等于(a+b)(a一b)√1+2g2a. 0.上底面的边长等于号V27a2-12V3S. 习题2121,正方体的全面积等于96cm2.2.立方体的棱长为30c, 3.两个正方体的体积之比为SV:V.4.它的体积=24cm3.5.铁块的棱长为13.07cm。6.铸铁箱约重271.24公斤.7.它的最大载重量为 1.38吨 习题2.13.1.正四棱柱的体积等于3cm32。这块铸铁约重73.64吨 3.正八棱柱的体积等于2Ha(W区+1).4.三棱柱的体积等于V额 3 0.T=V2延。7.一公里长的路基需要35200立方米的士.8.这两个 2 棱柱的体积之差为3V3 ma3 8 习题2.14 1.v=合Vg6+g8-g.2.-gVo-2.3.v=V3h3 .4.它的侧面积等于60cm.6.7=号V3√3可.6.侧0 .·300· ==========第313页========== 于2V√13cm,侧棱对于底面所成的角为arctg2V√3.8.三棱锥的体积等于 sincoa 9.VSsin2aScosa63 ,11.设棱锥顶点到截面的距 12 cos2 a 1 离为1，顶点到底面的距离为五，则有方一列2· 习题2.151.v-10号m2.p=(63-a3)√6 3.V=1900m3 18 4.两底的面积各等于20m2和45m?,5.v=(a2+a+62) V2-(a-b).6.V=109cm3.7.中截面分它的体积之比为31：73 8.(1)原棱锥顶点到棱台上下底面距离之比为1：2；(2)中截面把棱台分成两部分的体积之比为19：37.9.设棱锥的高分成m、”、p三部分，则有m:n:p=1:(/z-1):(Q3-/z).10.设棱锥被两个平行平面三等分，所分成的三部分的体积为V4、V4a、Vo,则有V:V4B:Vo=1:7:19.1山.体积之比为43.12.9(a3-b9. 习题2.161.这堆沙的体积≈28.71立方米.2.它的体积约等于53.44立方分米.4.楔形的体积等于1500立方厘米.6.v=2Y3(2+m十m. 12 习题2.171.正四面体的二面角等于7030'.2.正八面体的二面角等于10930',3。因为正多面体的多面角，都是相等的正多面角，而重合后的那几个多面角是四面角，不等于原正四面体的三面角.所以合成的多面体不是正多面体.4.棱长为“的正八面体中相邻两个面的中心的距离为V2a. 5.棱长为a的正八面体对角线的长为aV2.B.立方体的体积和这立方体各面中心为顶点的正八面体的体积之比为6：1.7.棱长为a的正八面体的本积为V号8.内接于正八面体的立方体的棱长为a(2-V②).9.本习题的1、2两题的答案可知，正四面体的二面角和正八面体的二面角是互补的，因为它们的和等于180°.即7030'+10930'=180°， 复习题二A 2.因为它的侧棱都相等，则它的底面多边形内接于一圆.又这多边形的边都相等，根据圆内接等边多边形的性质，必是正多边形，所以这棱锥是正棱锥。 3.立方体的棱长增加一倍，则它的体积增加8倍.4.长方体的体积为√②2Q3.6.立方体的棱长为2cm.6.这正四棱柱的对角线长9cm. ·301◆ ==========第314页========== 7.各藏面的面积分别为0a=82g,0--22222 9,Q3=n-3)2n2 g,g=是e.8.-aa 4(a+b) 9.h=6 10.侧面积为 a+b. 剩余部分的体积为贸a.17. Q3 (6+c). 复习题二B 7.V=20V3cm3.9.需要铁皮156cm2. 第二章测验题 1.校长等于乃3.陵锥的商为√30，斜高为雪。..各棱相等，就 是正方体时. 第三章旋转体 习题321.圆柱的轴截面的对角线长为5cm,2.一个底面的面积为r2.3.这截面的面积为480cm2.4,内接正六棱柱的体积是81W3cm3.4 6.圆锥的底面积为36x平方厘米.7.母线的长等于5cm.8.这截面的面积是3V√4≈209cm2.9.这截面的面积为144V2≈203.9cm2.10.圆锥 8r3h3 的内接正方体的体积等于（√2h+2r) 习题3.31.这圆台的高为12cm.2.圆台下底面的半径为15cm.3.截 得这圆台的园锥的底面半径r=3cm,方=10号cm,.截得这圆台的圆锥的商是，、6。它的轴毅面面积为)ca2、6。这载面与上底面的距离 是4cm,它与下底面的距离是6cm.7.它的中截面面积等于16xcm2. 8.这个截面与上底面的距离是2cm,它与下底面的距离是6cm.11.这个截面的面积为12√73≈102.5平方米. 习题351，这两个圆柱的侧面积是相等的，但是它们的全面积不等，以b为轴的那个圆柱的全面积较大.2.等边圆柱的侧面积为2π.3.它的全面 积等于+2Q、.等边圆往的全面积为置、6。图往的侧面积和它的 ·302· ==========第315页========== 触戴面面积之比为元，8，这圆柱的高等于要.7。圆柱的侧面积和它的内 接正六棱柱的侧面积的比为π：3.8.正四棱柱的剩余部分的全面积等于170+16死≈220.2cm9.因为圆柱的侧面积等于它的轴截面的面积的x倍，因此两个圆柱的侧面积之比，等于它们的轴截面面积之比.0.需要薄铁皮约11.22平方米.1.共需铁板38.6平方米.12。这蒸汽锅内全面积所受的蒸汽压力为1271.9吨. 习题361.它的侧面积为80.4cm2,侧面展开图的圆心角等于225°， 2.它的全面积约等于452.6cm.6.需要帆布约25.6平方米.6.塔尖的 高等于2.6米，7.它的母线的长约为8.45厘米，8。因为血会-只其 中α是圆锥的顶角.9.扇形的圆心角等于216°.10.当圆锥的高等于0，底半径等于a时全面积等于ra2为极大. 习题3.71.这圆台的侧面积为2x(2-r).2.约需油漆4300克.3.约需铁皮0.94平方米.6.这圆台的侧面积等于100元cm”.7.这圆台的侧面积等于2rF 习题81.它的高应当扩大n倍.2.它的底面的半径扩大√n倍 3。V-C.4.医柱的体积V-云6.木材的重量约等于59.6克 6.内切圆柱的体积等于363 4 习题391.它的高应当缩小9倍.2.它的底面直径应当缩小2倍 3.圆锥的侧面积为200x平方米，它的体积为577.3立方厘米.4.液柱的高为7.5cm.5.这圆锥的体积≈252.77cm3.6.这个截面的半径为 R/车 2二；顶点到截面的距离为生.7.它的高为3√3cm,侧面积为1cm2, 习题310 1.等积圆锥的底半径为7cm2,圆台的体积等于驾(R-) +r3 (+2+Br)=写(-).8.截面的半径为924.这圆合的体积为312rcm3.5.圆台的体积约等于1586.2立方厘米.6.圆台的上底面的半径为10cm.7.熔矿炉的容积约等于44.1w≈138.4立方米.8.铆钉的重量约等于680.2克.9.这圆台的上底面半径和下底面半径的比为 B5=(V5+1):2.10.这旋转体的体积是g台山.圆柱的底面 半径为14cm,12.圆台被两个平行截面分成三部分的体积之比为7：19：37. ·303● ==========第316页========== 13ara3sin2a. 的体积等于了gin2a.14.旋转体的f 5.旋转体的体积为Tbc6+ein受os3会习题312 2.平面ABC与球心的距离为12cm.3.截面圆的面积与大圆 的面积之比为3：4.4.这两点与球心连结线的交角约为61°，5，这截面圆的面积约为643.8cm2.6.球的半径≈66.8cm.8.这两个等球的交线的 长为√3πR.9.因为圆柱、圆锥和圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形 和等腰梯形，它们都可以作一个外接圆，因此，我们把它们的对称轴作为旋转轴，旋转一周所成的图形就是圆柱、圆锥和圆台及它们的外接球，但是圆柱和圆台的轴截面图形（矩形和等腰梯形），就不一定可作它的内切圆，因此圆柱和圆台就不一定可作它们的内切球.只有圆锥的轴截面是等腰三角形，它可以作一个内切圆，因而也可以作出圆锥的内切球.0.这圆锥的外接球的半径为示。1，这题台的体积约为16730m,18.这平面裁球所得载面的面积约为508.9m.14.两地间的纬度圈的劣弧长约为1157公里.16.1、 V两点的球面距离为。16.4点到球的切点的距离等子R好网，A点 到球心的距离为 习题3.141.球的半径如果扩大5倍，它的面积则扩大25倍.2.半径等于R的半球的全面积不等于2cR2,应等于2cR2加上一个大圆的面积r2,即3x.3.火星和地球的面积之比约为1：4.4.木星的面积约等于火星面积的484倍.5。这球带的高是R(V3一1).6.设一边为a的正方形，以它的一边为轴，旋转一周所成圆柱的面积等于4πa,而a为半径的球的面积也等于4ra,所以它们的表面积是相等的.7.球带的高约等于1.5cm. 8.这光源离球心为3R.11.(1)地球的面积约等于50990万平方公里； (2)北极圈内球冠的面积约等于2229万平方公里；(3)北温带的面积约等于13108万平方公里；(4)热带的面积约等于20316万平方公里，1.平面截得的两个球冠的面积分别是31.42cm2和282.78cm2.13.旋转体的全面积为冬R”.14.测定的材料的硬度为2067kg/加m2,16.剩余部分的全面 积等于512rcm?.16.这球冠的高h=2R-√4”一。，要本题成立，必须当S<4c,也就是说球冠的面积和这截面的面积之和S要小于球的面积，否则问题就不能成立， .●.304 ==========第317页========== 习题3.161.这球扇形的体积为240m.2.球扇形的体积为680cm3. 3。它们的体积之比为：丑.球扇形的体积为号R.6.它们的体积分别 等于号，和智的， 习题3.171.1公斤重的铅能铸成直径为1厘米的铅球167个.2.这空心铁球的重量为1209克.3.火星和地球的面积之比，约为1：4，火·星和地球的体积之比约为1：8.4.木星的体积约是地球体积的1315倍.5.铜球半径增加千分之一，铜球的体积则增加千分之三。6.熔成的大铅球的直径约等于15.95cm. 习题3.181.≈65.04mm.2.这镜片的体积约等于643mm3.3.(1)这球台的两底面在同一半球内的体积约等于39.76cm3,(2)球台的两底面在球的上下半球内的体积约等于454.4cm3.4.这个球的剩余部分的体积约等于21.75cm3 复习题三A 2.这线段和轴的距离约为4.33cm,线段和轴所成的角a=2230.3.水塔的高为10米，它底面的￥径为5米；水塔的最大容量是250m立方米.5.顶点到第一个截面的距离为3cm;顶点到第二个截面的距离为3V√2cm. ?。戴去的月柱形体积约为108.2cm,9.中间部分的体积为7口. 10,圆台的上底面积和它下底面积之比约为1：4.11，通过四面体的底面三角形的外心作底面的垂直线，则垂线上的任何一点都和底三角形的三个顶点等距离，再作一侧棱的垂直平分面，在这垂直平分面上的任一点都和这侧棱 的两端点等距离，因此这平分面和垂线的交点O与四面体的4个顶点等距离， 0点即为它的外接球的球心.12.(1)球的面积为4r1rr;(2)圆台母线和下底面的夹角为arc cos1一2.13.水平面的高约为2.463r.14.正四面体 r1十Y3 的全面积最大，球的面积最小。15.这球的半径等于3c.17,球台的体积约等于167.6cm8.18.旋转体的体积等于3y3a3 复习题三B 1,V≈1764√6元cm3.2.B、A间的球面距离为2o R 18..arcsin ·305· ==========第318页========== 8.这球的半径为号(4±√7).如果球的半径取受(4-√T)小于a之值， 则球的中心在正方体内，如果取球的半径为号(4+V7)时，则球的中心在 正方体外部。 第三章测验题 1.園锥的高与母线的夹角为asnZ与.3.这圆锥的转装面的底角等于60°.3.钢垫圈约重39.2克、4.7=，6.圆台的体积等于180x√3cm8.6。飞船对地球表面的视野约288x·105平方公里.7.这球的体积约等于395cm3.8、球台的高等于6厘米. 总复习题A 1.被锥的离等于aV区，斜哀等于aV西1B.⊙)当9等子如e阳方时，圆锥的全面积为最小14.内接于球的正方体的体积为8的. 9 总复习题B 7.是通过已知三角形的外心且垂直于这三角形所在平面的直线.8.四角所 裁去的正方形钓边长为言4,1山.当圆柱的底半径为√0⑤+V,高为10 rW10(5-V5) 6 1B。上下底的半径都等于登√4如-时，球台体积为极大， 总测验题 25 8.当长、宽、高都等于√分时，正方体的体积为极大，7。当底半径为、高为号时，因柱的体积为极大 ◆308· ==========第319页==========